Scottsches Axiomensystem

Das Scottsche Axiomensystem, benannt nach dem Mathematiker Dana Scott, ist ein Axiomensystem der Mengenlehre, das als alternativer Zugang zum Axiomensystem der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, kurz ZF, angesehen werden kann. Es verwendet das in ZF beweisbare Reflexionsprinzip als Axiom und kann auf diese Weise auf einige ZF-Axiome verzichten.

Motivation Bearbeiten

Durch die Von-Neumann-Hierarchie wird das gesamte Mengenuniversum in Stufen   eingeteilt, wobei   die Ordinalzahlen durchläuft. Wir beschreiben hier drei Konsequenzen, die dann umgekehrt zu Axiomen des Scottschen Axiomensystems werden.

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Das heißt, jede Menge   liegt in einer Stufe. Das ist genau die zum Fundierungsaxiom äquivalente Aussage der Von-Neumann-Hierarchie, wonach jede Menge bereits in einer Stufe liegt bzw. bezüglich der  -Relation bereits durch eine Stufe beschränkt ist; man spricht daher auch vom Beschränktheitslemma.

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Wenn also   in einer Stufe   liegt, so liegt es bereits in einer niedrigeren Stufe   mit   oder ist als Teilmenge in einer solchen niedrigeren Stufe enthalten. Dieses sogenannte Kumulierungslemma folgt direkt aus der rekursiven Definition der Stufen   als Vereinigung aller Vorgänger oder als Potenzmenge des Vorgängers, je nachdem, ob   eine Limes-Ordinalzahl ist oder nicht.

Das Reflexionsprinzip besagt, dass jede in ZF formulierbare Aussage   bereits durch eine Stufe   gespiegelt wird, genauer:

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Die Spiegelung durch die Stufe   bedeutet dabei die Spiegelung durch das durch „ “ definierte Prädikat; Einzelheiten zum Begriff der Spiegelung findet man im Artikel Relativierung (Mengenlehre).

Diese drei Eigenschaften – Beschränktheitslemma, Kumulierungslemma und Reflexionsprinzip – sollen nun zu Axiomen erhoben werden, ohne die in ZF definierten Stufen zu verwenden. Dazu benötigen wir ein neues Prädikat „  ist Stufe“, das wir   nennen. Die Schreibweise   ist demnach als „  ist Stufe“ zu lesen, und man kann sich darunter etwas Ähnliches wie die Stufen der Von-Neumann-Hierarchie vorstellen. Die genauen Eigenschaften dieser Stufen werden allerdings durch die Axiome des Scottschen Axiomensystems festgelegt, das nun vorgestellt wird.

Das Axiomensystem Bearbeiten

Wir verwenden kleine lateinische Buchstaben als Variablen für Mengen und die Symbole  , wobei = für Gleichheit steht und   für die Elementbeziehung,   ein einstelliges Prädikat ist und die restlichen Symbole die üblichen logischen Symbole sind. In den folgenden Axiomen bezeichne   eine mengentheoretische Formel mit der Variablen   und möglicherweise weiteren Variablen (Parametern)  .

  • Existenz:  

Das Existenzaxiom fordert, dass es wenigstens eine Menge im Mengenuniversum gibt.

  • Extensionalität:  

Das Extensionalitätsaxiom beschreibt den quantitativen Aspekt des Mengenbegriffs: Enthalten zwei Mengen dieselben Elemente, so sind sie gleich.

  • Aussonderung:  

Zu jeder Menge und zu jeder Eigenschaft kann man die Menge derjenigen Elemente aussondern, die diese Eigenschaft erfüllen, genauer: Bei vorgegebener Formel   und gegebenen Parametern gibt es zu jeder Menge   die Menge  , die genau aus denjenigen Elementen   aus   besteht, die der Eigenschaft   genügen. Dies ist kein einzelnes Axiom, sondern ein sogenanntes Schema von Axiomen, da man für jede Formel   ein Axiom erhält.

  • Beschränktheit:  .

Jede Menge liegt in einer Stufe.

  • Kumulierung:  

Dabei steht   wie üblich für  . In Worten besagt das Kumulierungsaxiom: Wenn   eine Stufe ist, so gilt für jedes   aus dieser Stufe, dass es eine in   enthaltene Stufe   gibt, in der   als Element oder als Teilmenge liegt.

  • Reflexionsprinzip:  

Hier soll   alle Formeln ohne das Symbol   durchlaufen, es handelt sich also wieder um ein Schema von Axiomen. Der Ausdruck   bedeutet dabei

 

wobei   die durch Relativierung nach   aus   hervorgegangene Formel ist.

Die Gesamtheit dieser Axiome werde im Folgenden mit   bezeichnet.

Äquivalenz zu ZF Bearbeiten

Die ersten drei Axiome aus   sind auch ZF-Axiome, und die einleitenden Bemerkungen zeigen, dass die Festlegung   ein Prädikat definiert, das auch die übrigen drei  -Axiome erfüllt. Umgekehrt kann man aus   alle ZF-Axiome herleiten, das heißt das Vereinigungsaxiom, Potenzmengenaxiom, Unendlichkeitsaxiom, Fundierungsaxiom und das Schema der Ersetzungsaxiome.

In   kann man daher wie in ZF Ordinalzahlen und die Von-Neumann-Hierarchie der   einführen. In   gilt dann der Satz:

 .

Damit sind die Axiomensysteme ZF und   gleichwertig. In beiden Axiomatisierungen lassen sich dieselben Sätze beweisen, wobei das in ZF fehlende   durch   zu ersetzen ist.

Literatur Bearbeiten