Scherung (Mechanik)

Fachbegriff der Mechanik (Physik)

Eine Scherung tritt in der Mechanik zwischen zwei Ebenen auf, die durch ein Kräftepaar aus Scherkräften gegeneinander parallel verschoben werden, sodass der zwischen den Ebenen liegende Bereich geschert wird und Schubverzerrungen oder Gleitungen γ auftreten, siehe Abbildung 1.

Abb. 1: Scherung eines Körpers (grau) durch zwei parallel zueinander in entgegengesetzter Richtung wirkende Kräfte (rot)[L 1]

Die Scherkräfte leiten in das Material eine Schub- oder Scherspannung τ ein, die bei kleinen Deformationen und linearer Elastizität proportional zur Gleitung sind: τ=G·γ, wo G der Schubmodul ist.

In der Kontinuumsmechanik wird Scherung und Schubverzerrung synonym benutzt und in der technischen Mechanik wird unter Scherung auch Scherbelastung verstanden. Ersteres wird im Abschnitt #Kinematik, letzteres im Abschnitt #Dynamik behandelt. Ein einleitender Abschnitt behandelt die Phänomenologie der Scherung.

Von reiner Scherung wird gesprochen, wenn es ein Bezugssystem gibt, in dem keine Normaldehnungen oder keine Normalspannungen vorkommen,[L 2]:16[L 3]:71 was auch bei koaxialer Verformung wie in Abbildungen 3, 5 und 6 vorkommt.

Scherung tritt u. a. bei der Torsion oder der Querkraftbeanspruchung von Trägern auf, ist aber auch in viskosen Fluiden (Flüssigkeiten oder Gase) bedeutsam, siehe #Scherung von Fluiden.

EinführungBearbeiten

Die Scherung von Flüssigkeiten und Gasen wird im Abschnitt #Scherung von Fluiden behandelt.

Makroskopische BetrachtungBearbeiten

 
Abb. 2: Scherung bei der Torsion eines Rundstabes mit Schubverzerrung γ und Schubspannung τ

Zwei an einem Körper angreifende, parallel zueinander in entgegengesetzter Richtung wirkende Kräfte bewirken eine Scherung des Körpers[L 4] und heißen daher Scherkräfte, siehe Abbildung 1. Bei einer Torsion wie in Abbildung 2 werden parallel zueinander liegende Querschnittsflächen gegeneinander verdreht, was auch eine Scherung darstellt. Die Länge des Gegenstands sowie sein Querschnitt bleiben dabei idealerweise unverändert. Die scherenden Kräfte wirken stets tangential zur Körperoberfläche.[L 1]

Typische Beispiele für Scherkräfte kommen in Niet- und Bolzenverbindungen vor, siehe Abscherung (Statik). Die Schneidekanten von Scheren trennen das zu zerschneidende Material durch Scherung (Scherschneiden).

Mikroskopische BetrachtungBearbeiten

 
Abb. 3: Hauptscherung τ bei einachsigem Zug σ

Die Festigkeitslehre und Kontinuumsmechanik interessieren sich für die lokalen Verhältnisse in einem Körper unter Scherung, denn dort entscheidet sich, ob sich der Körper z. B. elastisch oder plastisch verformt.

Die lokalen Verhältnisse werden zugänglich, wenn der Körper gedanklich zerschnitten wird und so an der Schnittebene Schnittspannungen (Vektoren mit der Dimension Kraft pro Flächeninhalt) entstehen, die von der Orientierung der Schnittebene abhängen. Die Schnittebene kann in einem Punkt so gelegt werden, dass in ihr die Schubspannung, die definitionsgemäß parallel zur Schnittebene wirkt, maximal ist (Hauptschubspannung); Normalspannungen wirken im Gegensatz dazu senkrecht zur Schnittebene.

Die in der makroskopischen Betrachtung herangezogenen Belastungen führen zu Schubspannungen, die im Vergleich zu den Hauptnormalspannungen (kurz Hauptspannungen) maximal, nämlich betraglich gleich sind. Hier sind zwei Hauptspannungen entgegengesetzt gleich groß (siehe auch das #Beispiel unten), und der Mittelpunkt des Mohr’schen Spannungskreises liegt im Spannungsraum im Ursprung, sodass die maximale Schubspannung betraglich genauso groß ist wie die Hauptspannungen. Am Mohr’schen Spannungskreis lässt sich auch ablesen, dass die maximalen Schubspannungen im 45°-Winkel zu den Hauptspannungsrichtungen auftreten, die wiederum senkrecht zu Schnittebenen sind, in denen keine Schubspannungen vorkommen, siehe Abbildung 3.

Sind zwei Hauptspannungen gleich, dann degeneriert der Mohr’sche Spannungskreis zu einem Punkt. Sind alle drei Hauptspannungen gleich, dann befindet sich der materielle Punkt unter allseitigem Druck/Zug, und es treten im isotropen Material in keiner Ebene Schubspannungen auf. In allen anderen Fällen gibt es Schnittebenen, in denen eine maximale und nicht verschwindende Scherbelastung stattfindet. Monoklin und triklin anisotrope Stoffe erfahren unter allseitigem Druck auch Schubverformungen.

Die in der makroskopischen Betrachtung vorgestellten Fälle stellen aus Sicht der Schubspannungshypothese ungünstigste Belastungen dar, denn nach dieser Hypothese sind die Schubspannungen für das Versagen eines Werkstoffs verantwortlich. Demzufolge lohnt es sich, den Schubanteilen besondere Aufmerksamkeit zu schenken und das Bezugssystem entsprechend auszurichten.

KinematikBearbeiten

Zur Veranschaulichung einer Scherung kann man sich ein Buch vorstellen: verschiebt man die Buchdeckel parallel gegeneinander, bilden Buchrücken und Seitenstapel einen Winkel ungleich 90°. Die Abweichung vom rechten Winkel ist die Schubverzerrung oder Gleitung γ.

Kleine VerformungenBearbeiten

Kartesische KoordinatenBearbeiten

 
Abb. 4: Rechteck (ABCD,gelb) wird zum Viereck (A'B'C'D',blau) verformt

Bei einer ebenen Verformung hängen die Verschiebungen u(x,y) und v(x,y) in x- bzw. y-Richtung vom Ort ab, der mit der x- und y-Koordinate eines kartesischen Koordinatensystems parametrisiert sein kann. Dann gilt bei kleinen Verformungen:[L 3]:66

 

Zur Herleitung wird in der xy-Ebene ein (infinitesimal) kleines Rechteck mit Breite dx und Höhe dy betrachtet, ABCD, das in ein Viereck A'B'C'D' verformt wird, siehe Abbildung 4. Anders als dort dargestellt sollen die Verformungen klein ausfallen, sodass die Verschiebungen und ihre Ableitungen klein sind. Das Koordinatensystem wird so gelegt, dass dessen x- und y-Achse in Richtung der Seiten AB bzw. AD weisen.

Der Winkel γ ist, wie dem Bild zu entnehmen ist, die Summe der Winkel α und β. Die Ecken A, B und D verschieben sich nach

 

wo die rechten Näherungen den nach dem linearen Glied abgebrochenen Taylorreihen entsprechen, die sich der Funktion also linear angleichen. Damit kann der Tangens von α ausgedrückt werden:

 

Hier wurde der zweite Summand im Nenner als Ableitung nach Voraussetzung   vernachlässigt. Entsprechend berechnet sich

 

und mit der Kleinwinkelnäherung tanα≈α:

 

Bei der Verformung eines Quadrats in ein Rechteck tritt auch eine Schubverzerrung auf, siehe Abbildung 5. Bei kleinem ε ist dort γ≈2ε. Denn aus dem Bild ist γ=90°-2α oder α=45°-γ/2 sowie   abzulesen. Mit dem Additionstheorem   und tan(45°)=1 folgt

 

und mit der Kleinwinkelnäherung besagtes γ≈2ε. Die Verformung ist in erster Ordnung volumenerhaltend, denn die Fläche des gelben Rechtecks ist

A = (1+ε)·L·(1-ε)·L = (1-ε2)·L2 ≈ L2

und damit gleich dem des ursprünglichen Quadrats. Bei entsprechenden großen aber volumenerhaltenden Verformungen der Abbildung 6 ist die Querdehnung in der Ebene gleich  , und die Partikel des Körpers verschieben sich auf schwarz skizzierten, gekrümmten Bahnen was in den Geowissenschaften #Reine Scherung (pure shear) genannt wird.

ZylinderkoordinatenBearbeiten

In Zylinderkoordinaten mit radialer Koordinate ρ, Azimut φ und Höhe z über der ρφ-Ebene lauten die Schubverzerrungen[L 5]

 

KugelkoordinatenBearbeiten

In Kugelkoordinaten mit Abstand r vom Ursprung, Zenitwinkel ϑ und Azimut φ lauten die Schubverzerrungen[L 5]

 

mit den Winkelfunktionen Sinus sin und Kotangens cot.

Große VerformungenBearbeiten

 
Abb. 7: Streckung und Scherung der Tangenten (rot und blau) an materiellen Linien (schwarz) im Zuge einer Deformation

Bei großen Verformungen wird eine lokale Verformung wie in Abbildung 7 betrachtet. Zwei sich im Referenzzustand (oberer Bildteil) kreuzende materielle Linien (die man sich als oberflächig eingeritzte Linien vorstellen kann) schließen einen rechten Winkel ein, der zwischen ihren Tangentenvektoren   und   gemessen wird. Wie üblich werden die x- und y-Koordinaten nach dem Schema x→1 und y→2 durchnummeriert. Im Zuge einer Deformation – beschrieben mit der Bewegungsfunktion   – ändert sich der Winkel γ zwischen den Tangentenvektoren gemäß

 

mit

  • dem Frobenius-Skalarprodukt “ von Vektoren
  •  
  •  
  • dem einheitenfreien Green-Lagrange’sche Verzerrungstensor E, dessen Komponenten   sich auf das im Referenzzustand von den Vektoren   gebildete Basissystem beziehen
    • der Schubverzerrung   in der 1-2-Ebene
    • den Normaldehnungen   und  , die in der 1- bzw. 2-Richtung auftreten.

Im Fall kleiner Verzerrungen geht der Green-Lagrange’sche Verzerrungstensor in den linearisierten Verzerrungstensor   über, kann   (Kleinwinkelnäherung) und der Nenner im obigen Bruch gleich eins gesetzt werden, mit dem Resultat:

 

Die Komponenten beziehen sich auf ein kartesisches Koordinatensystem,

  • das parallel zu den Vektoren   ausgerichtet ist,
  • in dem X1,2 die Koordinaten,
  • u1,2 die Verschiebungen und
  • ε12 die Schubverzerrung sind.

Die Schergeschwindigkeit   berechnet sich im Zustand γ=0° als:[F 1]

 

mit

  • dem Verzerrungs­geschwindigkeits­tensor d
  •  
  •  

Hier werden die zueinander orthogonalen Tangentenvektoren   also im deformierten Zustand ausgewählt.

Die Komponenten beziehen sich auf ein kartesisches Koordinatensystem,

  • das nun parallel zu den Vektoren   ausgerichtet ist,
  • in dem x1,2 die Koordinaten,
  • v1,2 die Geschwindigkeiten und
  • d12 die Schubverzerrungsgeschwindigkeit sind.

Bei kleinen Verzerrungen ist  , und die Schergeschwindigkeit lautet:

 

Scherung in der GeologieBearbeiten

 
Abb. 8: Wirkung von reiner und einfacher Scherung bzw. deren Kombination

In der Geologie werden hauptsächlich zwei Extremfälle der Scherung unterschieden, mithilfe deren Kombination viele Verformungen (beispielsweise transpressive oder transtensive Verwerfungen) betrachtet werden können.

Reine Scherung (pure shear)Bearbeiten

Die reine Scherung, auch koaxiale Scherung oder reine Kompression, bezeichnet den Idealfall koaxialer Verformung wie in Abbildung 6,[L 6] aus dem eine dreidimensionale homogene Abflachung des Körpers resultiert.[L 7] Es ist ein Beispiel für eine drehungsfreie Verformung, bei der der Körper in einer Richtung verlängert und zeitgleich senkrecht verkürzt wird.

Einfache Scherung (simple shear)Bearbeiten

Die einfach Scherung, auch nicht-koaxiale Scherung wie in Abbildung 1, bezeichnet den Extremfall der nicht-koaxialen Verformung,[L 6] bei dem parallele Ebenen in einem Material parallel bleiben und einen konstanten Abstand beibehalten, während sie sich relativ zueinander verschieben.

DynamikBearbeiten

Scherung von FestkörpernBearbeiten

Eine Schubbelastung ist eine Kraft oder ein Moment, bei denen der belastete Körper zumindest lokal eine Scherbewegung ausführt. Diese äußere Belastung setzt sich im Körper in Spannungen um, insbesondere in Schubspannungen.

Scherbelastung tritt nicht nur bei äußerer Belastung auf, sondern z. B. auch

Bei der Scherung – oder allgemein bei einer Schubbelastung – stehen die Schubspannung τ und die Schubverzerrung oder Gleitung γ im geometrisch linearen Bereich und bei linearer Elastizität in der Beziehung

τ = G γ.

Die Proportionalitätskonstante G ist der Schubmodul (auch: Scher- oder Gleitmodul).

Die Schubspannung wird bei der Scherung auch Scherspannung genannt und hat – wie der Schubmodul – die Dimension Kraft pro Fläche. Die SI-Einheit der Schubspannung ist damit das Pascal (Pa), also N/m² – Newton pro Quadratmeter.

Lokal werden bei einer Scherung im elastischen Bereich im Körper materielle Flächen relativ zueinander, reversibel, parallel verschoben. Die Fläche kann sich dabei verwölben, wie es z. B. bei der Torsion eines nicht kreisrunden Stabes oder der Querkraftbelastung eines Trägers passiert.

Oberhalb des elastischen Bereichs bis zum Erreichen der Scherfestigkeit verformen sich duktile Materialien plastisch, worauf im Folgenden[L 8] eingegangen wird.

Bei Überschreitung der Scherfestigkeit wird das Werkstück abgeschert (siehe die Beispiele zum Torsionsbruch).

Kristalline WerkstoffeBearbeiten

Übersteigt die Scherbelastung die Elastizitätsgrenze, so kommt es in duktilen kristallinen Werkstoffen – insbesondere Metallen – zu Versetzungsbewegungen.

In einem kristallinen Werkstoff werden bei der Scherung Kristallteile gegeneinander verschoben. Die Ebene, die die Kristallteile voneinander trennt, ist die Gleitebene, die gemeinsam mit der Gleitrichtung das Gleitsystem bildet.

Im Beispiel mit dem Buch wären die Gleitebenen die Buchseiten, die nun in der Gleitrichtung senkrecht zum Buchrücken in der Papierebene aufeinander abgleiten.

Ist   der Normalenvektor der Gleitebene und   die Gleitrichtung in der Ebene, dann ist die Schubspannung im Gleitsystem (GS) durch den Spannungstensor   gegeben:

 

mit  

Überschreitet die Schubspannung   im Gleitsystem die kritische Schubspannung  , so gleiten die Atome beiderseits der Gleitebene aneinander ab und es kommt zu plastischer Verformung.

Polykristalline WerkstoffeBearbeiten

In polykristallinen, isotropen Werkstoffen wechselt die Kristallorientierung mit den Kristallkörnern, deren Verformungen sich gegenseitig behindern können. Dadurch steigt die Schubfließgrenze   an. Der Proportionalitätsfaktor zwischen der Schubfließgrenze und der kritischen Schubspannung ist der Taylor-Faktor M:

 

Der Taylor-Faktor berechnet sich aus den statistischen Eigenschaften der Kristallkörner im Polykristall. Bei kubisch flächenzentriertem Gitter ist er M=3,1 und bei kubisch raumzentriertem Gitter M=2,9.

ThermoplasteBearbeiten

Thermoplaste können sich plastisch verformen, indem sich die Kettenmoleküle, aus denen sie bestehen, lokal strecken. Dadurch entstehen – insbesondere unter Druck – Scherbänder, die in einem Winkel von 45° bis 60° zur Belastungsrichtung orientiert sind, wo lokalisiert große plastische Verformungen von 100 % und mehr auftreten; abseits davon sind die Verformungen aber gering.

Scherung von FluidenBearbeiten

Scherung ist auch in Fluiden bedeutsam, die Schergeschwindigkeiten in ihnen berechnen sich wie im Abschnitt #Große Verformungen in der Kinematik geschildert.

Reibungsfreie FluideBearbeiten

In reibungsfreien Flüssigkeiten und Gasen führen die Schergeschwindigkeiten nicht zu Schubspannungen.

Newtonsche FluideBearbeiten

 
Abb. 9: Ausbildung einer laminaren Grenzschicht zwischen der blauen Linie und einer flachen Oberfläche (untere Linie)

Die in der Strömungsmechanik zumeist betrachteten Fluide sind die newtonschen Fluide, deren Geschwindigkeitsfeld den Navier-Stokes-Gleichungen gehorcht. Das Materialmodell für das newtonsche Fluid lautet:

 

Darin sind

Die Schubspannungen sind also mit 2μd proportional zum o. g. Verzerrungs­geschwindigkeits­tensor d, was sich makroskopisch als Viskosität bemerkbar macht.

An Wänden, wo die Haftbedingung keine wandparallele Bewegung des Fluids an der Wand zulässt, führt die Schubspannung zur Ausbildung einer Grenzschicht, in der sich die Geschwindigkeit an die Geschwindigkeit im Hauptstrom angleicht, siehe Abbildung 9.

Strömt das Fluid in x-Richtung parallel zur Wand und weist die Wandnormale in y-Richtung, dann lautet die Schubspannung im Abstand   von einer ebenen Wand:

 

denn der Term mit der Geschwindigkeit   senkrecht zur Wand kann hier vernachlässigt werden.

Insbesondere ist die Wandschubspannung definiert durch

 

Nicht-Newtonsche FluideBearbeiten

Nicht-newtonsche Fluide zeigen eine nichtlineare Abhängigkeit der Schubspannungen von den Schergeschwindigkeiten.

BeispielBearbeiten

 
Abb. 10: Scherung eines Quadrats (gelb) in Parallelogramme

In der xy-Ebene erfahren die Punkte eines Einheitsquadrats mit   die Verschiebung

 

Der Parameter γ ist die Gleitung und φ bewirkt eine Drehung. Aus Ableitungen nach dem Ort berechnet sich der linearisierte Verzerrungstensor

 

der – anders als in Abbildung 10 dargestellt – nur zulässig ist bei   Mit dem Hooke’schen Gesetz ergibt sich der Spannungstensor

 

in Abhängigkeit vom Schubmodul G und der ersten Lamé-Konstanten λ. Der Operator Sp bildet die Summe der Diagonalelemente (Spur) und   ist der Einheitstensor. Die Schubspannungen haben die Größe   Der Verzerrungs- und Spannungstensor besitzen hier – im Rahmen der geometrisch linearen Betrachtung – keine Normalkomponenten.

In Schnittebenen mit Normalenvektoren

 

treten keine Schubspannungen auf, weil die Schnittspannungsvektoren   genau in Normalenrichtung weisen (   sind Hauptspannungen und   sind die dazugehörenden Hauptspannungsrichtungen.)

Der linearisierte Verzerrungstensor ist der symmetrische Anteil des Verschiebungsgradienten

 

Durch Addition des nicht linearen Anteils

 

zum linearisierten Verzerrungstensor ergibt sich der Green-Lagrange’sche Verzerrungstensor

 

Bei der Scherung eines Quadrats zu einem flächengleichen Parallelogramm treten deshalb bei großer Scherbewegung Normaldehnungen auf, siehe Poynting-Effekt.

Siehe auchBearbeiten

Festkörper:

Fluide:

AnmerkungenBearbeiten

  1. Die Groß- und Kleinschreibung der Variablen ist zu beachten: Variablen in Großbuchstaben beziehen sich auf den Referenzzustand und solche in Kleinbuchstaben auf den aktuellen Zustand, der gegenüber dem Referenzzustand stark deformiert und verdreht sein kann.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Bernhard Grotz: Mechanik der Festkörper. 30. Oktober 2015, abgerufen am 3. November 2015.
  2. H. Balke: Einführung in die Technische Mechanik. Festigkeitslehre. 3. Auflage. Springer-Vieweg, 2014, ISBN 978-3-642-40980-6.
  3. a b D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. A. Wall: Technische Mechanik. Elastostatik. Band 2. Springer-Verlag, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40965-3, doi:10.1007/978-3-642-40966-0_6 (Verzerrungszustand, Elastizitätsgesetz).
  4. Bedeutungsübersicht: Scherung (Mechanik). Duden online, abgerufen am 2. November 2015.
  5. a b Martin H. Sadd: Elasticity – Theory, applications and numerics. Elsevier Butterworth-Heinemann, 2005, ISBN 0-12-605811-3, S. 42 f.
  6. a b Scherung. In: Lexikon der Geowissenschaften. Spektrum, abgerufen am 5. Februar 2022.
  7. Reish, Nathaniel E.; Gary H. Girty.: Definition and Mathematics of Pure Shear. San Diego State University Department of Geological Sciences, abgerufen am 5. Februar 2022.
  8. J. Rösler, H. Harders, M. Bäker: Mechanisches Verhalten der Werkstoffe. 4. Auflage. Springer-Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1818-8.

LiteraturBearbeiten

  • H. Balke: Einführung in die Technische Mechanik. Festigkeitslehre. 3. Auflage. Springer-Vieweg, 2008, ISBN 978-3-642-40980-6.
  • H. Altenbach: Kontinuumsmechanik: Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. Springer, 2012, ISBN 3-642-24119-0.