Satz von Trachtenbrot

Der Satz von Trachtenbrot, benannt nach Boris Trachtenbrot, ist ein Satz aus der mathematischen Logik. Er wurde 1950 bewiesen[1] und besagt, dass die in allen endlichen Modellen allgemeingültigen Sätze der Prädikatenlogik erster Stufe nicht rekursiv aufzählbar sind. Daraus ergeben sich Konsequenzen für die Prädikatenlogik zweiter Stufe.

Formulierungen des SatzesBearbeiten

Es sei   die Symbolmenge mit abzählbar unendlich vielen Konstantensymbolen und für jede Stelligkeit abzählbar unendlichen vielen Funktions- und Relationssymbolen. Weiter sei   die Menge aller  -Sätze der Prädikatenlogik erster Stufe, die in allen endlichen  -Strukturen erfüllt sind. Dann gilt:

  ist nicht rekursiv aufzählbar.

Kurzfassung: Die im Endlichen allgemeingültigen Sätze erster Stufe sind nicht rekursiv aufzählbar.[2]

Weiter sei   die Menge aller  -Sätze, zu denen es eine  -Struktur gibt, in der sie erfüllt sind. Dann gilt:

  ist nicht entscheidbar.

Kurzfassung: Die im Endlichen erfüllbaren Sätze erster Stufe sind nicht entscheidbar.[3][4]

Bemerkung zum BeweisBearbeiten

Die zweite Formulierung wird auf die Unlösbarkeit des Halteproblems zurückgeführt, in dem man ausnutzt, das sich Turing-Maschinen in endlichen Modellen beschreiben lassen. Daraus ergibt sich dann die zuerst genannte Fassung, denn die im Endlichen allgemeingültigen Sätze sind genau die Negationen der im Endlichen nicht erfüllbaren Sätze.

Unvollständigkeit der Prädikatenlogik zweiter StufeBearbeiten

Als Anwendung zeigen wir, wie aus dem Satz von Trachtenbrot die Unvollständigkeit der Prädikatenlogik zweiter Stufe folgt. Es sei   die Menge der Sätze der Prädikatenlogik zweiter Stufe, die in allen Modellen gültig sind. Dann gilt:

  ist nicht rekursiv aufzählbar.

Diesen Sachverhalt nennt man die Unvollständigkeit der Prädikatenlogik zweiter Stufe. Zum Beweis sei   ein Satz der Prädikatenlogik zweiter Stufe, der genau in endlichen Modellen gilt, etwa

 ,

d. h. für alle   gilt, wenn   eine Funktion ist und   injektiv ist, dann ist   surjektiv. Wäre nun   rekursiv aufzählbar, so starte man ein Aufzählungsverfahren und immer dann, wenn dieses eine Aussage der Form   mit einem  -Satz   der Prädikatenlogik erster Stufe erzeugt, gebe man   aus. Auf diese Weise werden alle im Endlichen allgemeingültigen Sätze erster Stufe aufgezählt, was dem Satz von Trachtenbrot widerspricht.[5]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. B. Trakhtenbrot: Die Unmöglichkeit eines Algorithmus für das Entscheidungsproblem im Endlichen (Russisch), Doklady Akademii Nauk SSSR (1950), Band 70, Seiten 569–572. Englische Übersetzung in American Mathematical Society, Translations (1963), Series 2, Band 23, Seiten 1–5.
  2. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, X, Satz 5.4
  3. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, X, Satz 5.3
  4. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Finite Model Theory, Springer Verlag, ISBN 3-540-28787-6, Theorem 7.2.1
  5. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, X, Satz 5.5