Satz von Segre (Projektive Geometrie)

Projektive Geometrie

Der Satz von Segre, benannt nach dem italienischen Mathematiker Beniamino Segre, ist in der projektiven Geometrie die Aussage:

Zur Definition eines endlichen Ovals: Tangente, Sekanten, ist die Ordnung der projektiven Ebene (Anzahl der Punkte auf einer Gerade −1)

Die Aussage wurde 1949 von den finnischen Mathematikern G. Järnefelt und P. Kustaanheimo vermutet und ihr Beweis 1955 von B. Segre publiziert.

Eine endliche pappussche projektive Ebene kann man sich in inhomogenen Koordinaten wie die reelle projektive Ebene beschrieben denken, nur dass man statt der reellen Zahlen einen endlichen Körper benutzt. Ungerader Ordnung bedeutet, dass ungerade ist. Ein Oval ist eine kreisähnliche Kurve (s. u.): Eine Gerade schneidet höchstens 2-mal und in jedem Punkt gibt es genau eine Tangente. Die Standardbeispiele von Ovalen sind die nicht ausgearteten (projektiven) Kegelschnitte.

Der Satz von Segre hat für endliche Ovale eine sehr große Bedeutung, da es im pappusschen ungeraden Fall außer den Kegelschnitten keine weiteren Ovale geben kann. Im Gegensatz zu geraden pappussche Ebenen: Hier gibt es Ovale, die keine Kegelschnitte sind (s. Satz von Qvist). In unendlichen pappusschen Ebenen gibt es Ovale, die keine Kegelschnitte sind. Im Reellen muss man nur einen Halbkreis glatt mit einer geeigneten Halbellipse zusammensetzen.

Der Beweis des Satzes für den Nachweis, dass das gegebene Oval ein Kegelschnitt ist, wird mit Hilfe der 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal geführt. Dabei wird die für Körper ungerader Ordnung typische Eigenschaft, dass das Produkt aller Elemente, die nicht 0 sind, gleich −1 ist, verwendet.

Definition eines Ovals Bearbeiten

  • Eine Menge   von Punkten in einer projektiven Ebene heißt Oval, wenn
(1) Eine beliebige Gerade   trifft   in höchstens 2 Punkten.
Falls   ist, heißt   Passante, falls   ist, heißt   Tangente und falls   ist, heißt   Sekante.
(2) Zu jedem Punkt   gibt es genau eine Tangente  , d. h.  .

Für endliche projektive Ebenen (d. h. die Punktmenge und Geradenmenge sind endlich) gilt

  • In einer projektiven Ebene der Ordnung   (d. h. jede Gerade enthält   Punkte) ist eine Menge   genau dann ein Oval, wenn   ist und keine drei Punkte von   kollinear (auf einer Gerade) liegen.

3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal Bearbeiten

 
für den Beweis ist   die Tangente in  

Satz:

Es sei   ein Oval in einer pappusschen projektiven Ebene der Charakteristik  .
  ist genau dann ein nicht ausgearteter Kegelschnitt, falls die folgende Aussage (P3) gilt:

(P3): Ist   ein beliebiges Dreieck auf   und ist   die Tangente in   an  , so sind die Punkte
 
kollinear.
 
Zum Beweis des 3P-Pascal-Satzes

Beweis:

Die projektive Ebene werde in inhomogenen Koordinaten über dem Körper   so dargestellt, dass   die Tangente in  , die x-Achse die Tangente im Punkt   ist und   den Punkt   enthält. Ferner sei   (s. Bild)
Das Oval   lässt sich mit Hilfe einer Funktion   so beschreiben:

 

Die Tangente im Punkt   werde mit Hilfe einer Funktion   durch die Gleichung

 

beschrieben. Es gilt dann (s. Bild)

  und  

I: Falls   ein nicht ausgearteter Kegelschnitt ist, ist   und   und man rechnet leicht nach, dass   kollinear sind (siehe Parabel).

II: Falls   ein Oval mit der Eigenschaft (P3) ist, ist die Steigung der Gerade   gleich der Steigung der Gerade  , d. h. es ist

  und damit gilt
(i):   für alle  .

Mit   erhält man

(ii):   und mit   folgt
(iii):  

Aus (i) und (ii) ergibt sich

(iv):   und mit (iii) schließlich
(v):   für alle  .

Aus (ii) und (v) folgt

 .

Also ist   ein nicht ausgearteter Kegelschnitt.

Bemerkung:

  1. Die Eigenschaft (P3) ist in pappusschen Ebenen der Charakteristik 2 für alle Ovale mit einem Knoten N (alle Geraden durch N sind Tangenten) erfüllt. Also auch für Ovale, die keine Kegelschnitte sind.[1]
  2. Der 3-Punkte-Pascal-Satz ist auch für Ovale in unendlichen pappusschen Ebenen über Körper der Charakteristik   gültig.

Aussage und Beweis des Satzes von Segre Bearbeiten

Satz:

Ein Oval   in einer endlichen pappusschen projektiven Ebene ungerader Ordnung ist ein nicht ausgearteter Kegelschnitt.

 
3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal, für den Beweis ist  
 
Satz von Segre: zum Beweis

Beweis:

Zum Beweis wird nachgewiesen, dass das Oval die Eigenschaft (P3) der 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal (s. o.) erfüllt.

Sei also   ein beliebiges Dreieck auf   und   wie in (P3) erklärt. Die pappussche Ebene wird so in inhomogenen Koordinaten über einem endlichen Körper   dargestellt, dass   und   der Schnittpunkt der Tangenten in   und   ist. Das Oval   lässt sich mit Hilfe einer bijektiven Funktion   darstellen:

 

Ist nun  , so ist   die Steigung der Sekante   Da sowohl   als auch   eine Bijektion von   auf   ist, und   eine Bijektion von   auf   ist, wobei   die Steigung der Tangente in   ist, gilt für  

 

(Man beachte: Für   gilt:  )
Also ist

 

Da die Steigungen von   und der Tangente   beide   sind, ergibt sich  . Dies gilt für jedes Dreieck  .

Also gilt die Eigenschaft (P3) der 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal und das Oval ist ein nicht ausgearteter Kegelschnitt.

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. E. Hartmann: Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), S. 35.