Satz von Menelaos

mathematischer Satz

Der Satz von Menelaos, benannt nach dem griechischen Mathematiker Menelaos (Alexandria, etwa 100 n. Chr.), macht eine Aussage über Geraden, die Dreiecke schneiden.

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Fall 1
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Fall 2

Gegeben seien ein Dreieck ABC und eine Gerade, welche die Dreiecksseiten [BC], [CA] und [AB] beziehungsweise ihre Verlängerungen in den Punkten X, Y und Z schneidet. Dann gilt:

Umgekehrt kann man aus der Richtigkeit dieser Beziehung folgern, dass die Punkte X, Y und Z auf einer Geraden liegen.

Hierbei ist das Teilverhältnis von , das für drei auf einer Geraden liegende Punkte mit definiert wird durch . Wenn zwischen und liegt, ist dieses Teilverhältnis gleich , andernfalls gleich .

Betrachtet man nur die Streckenlängen, so kann man die obige Gleichung auch in folgender Form schreiben:

Da die Orientierung hierbei verloren geht, ist diese Gleichung nicht ausreichend für eine Umkehrung des Satzes, vgl. Satz von Ceva.

BeweisBearbeiten

 
Zum Beweis des Satzes

Der Satz von Menelaos lässt sich mit Hilfe des Strahlensatzes beweisen. Man betrachtet drei Lote auf die gegebene Gerade, die von den Ecken A, B und C ausgehen. Die Längen der Lotstrecken seien mit  ,   und   bezeichnet.

Aus dem Strahlensatz erhält man folgende Verhältnisgleichungen:

 
 
 

Multipliziert man diese drei Gleichungen miteinander, so ergibt sich

 

und weiter (durch Multiplikation mit dem Nenner)

 .

AnwendungBearbeiten

Der Satz von Menelaos liefert zusammen mit seiner Umkehrung ein Kriterium für kollineare Punkte. Eine Folgerung ist der Satz von Ceva.

LiteraturBearbeiten

  • Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 124 ff., S. 136 (Uni-Taschenbücher 669 Mathematik)
  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 78–81
  • Branko Grunbaum, G. C. Shephard: Ceva, Menelaus, and the Area Principle. In: Mathematics Magazine, Band 68, Nr. 4, Okt. 1995, S. 254–268 (JSTOR 2690569)

WeblinksBearbeiten

Commons: Menelaos's theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien