Satz von Descartes

mathematischer Satz

In der Geometrie beschreibt der Satz von Descartes (Vier-Kreise-Satz von Descartes), benannt nach René Descartes, eine Beziehung zwischen vier Kreisen, die einander berühren. Der Satz kann dazu verwendet werden, zu drei sich gegenseitig berührenden Kreisen ein Paar der sogenannten vierten Kreise zu finden, welche ebenfalls die drei Kreise berühren. Nach Definition der vorzeichenbehafteten Krümmung ist der (kleinste) Kreis umringt von den drei gegebenen Kreisen (im Bild blau), hingegen sind sie vom (größten) Kreis umschrieben (siehe Abschnitt Satz des Descartes).

Satz von Descartes
Satz von Descartes

Es handelt sich hier um einen Spezialfall des Apollonischen Problems. Berühren sich die gegebenen drei Kreise gegenseitig, sind zwei (ein Paar) apollonische Kreise (rot) möglich. Im Gegensatz dazu gibt es ohne gegenseitiger Berührung bis zu acht (vier Paare) apollonische Kreise.[1]

Geschichte Bearbeiten

Über geometrische Probleme im Zusammenhang mit Kreisen, die einander berühren, wurde schon vor mehr als 2000 Jahren nachgedacht. Im antiken Griechenland des 3. Jahrhunderts v. Chr. widmete Apollonios von Perge diesem Thema ein ganzes Buch. Unglücklicherweise ist uns dieses Werk mit dem Titel Über Berührungen nicht erhalten.

René Descartes erwähnte 1643 das Problem (gemäß den damaligen Gepflogenheiten) kurz in einem Brief an die Prinzessin Elisabeth von Böhmen. Er kam im Wesentlichen zu der Lösung, die weiter unten in Gleichung   beschrieben ist, auch wenn sein Beweis nicht korrekt war[2]. Daher wird der Vier-Kreise-Satz heute nach Descartes benannt.

Der Satz wurde mehrfach unabhängig wiederentdeckt, unter anderem in einem Spezialfall in japanischen Tempelproblemen, von Jakob Steiner (1826), vom britischen Amateurmathematiker Philip Beecroft (1842)[3] und von Frederick Soddy (1936). Man spricht manchmal von den Soddy-Kreisen, vielleicht weil Soddy seine Version des Satzes in Form eines Gedichts mit dem Titel The Kiss Precise veröffentlichte, das in der Zeitschrift Nature (20. Juni 1936) abgedruckt wurde.[4] Soddy verallgemeinerte auch den Satz von Descartes zu einem Satz über Sphären im 3-dimensionalen Raum und Thorold Gosset auf n-Dimensionen.

Allan Wilks und Colin Mallows von den Bell Laboratories entdeckten Ende der 1990er Jahre, dass eine komplexe Version des Satzes von Descartes auch die Orte der Kreise festlegt. Näheres hierzu enthält der Abschnitt Komplexer Satz von Descartes.

Setzt man die Konstruktion fort, erhält man eine fraktale Struktur mit immer kleineren sich berührenden Kreisen. Während die ersten vier Krümmungen nach dem Satz von Descartes durch eine quadratische Gleichung verbunden sind, gilt für die folgenden Kreise eine lineare Gleichung. Startet man mit vier ganzzahligen Krümmungen, so haben auch die folgenden Krümmungen der Kreise in der Konstruktion ganzzahlige Werte. Die zahlentheoretischen Aspekte des Problems wurden insbesondere von Wilks, Jeffrey Lagarias, Ronald Graham, Peter Sarnak, Alex Kontorovich und Hee Oh weiter verfolgt.

Definition der vorzeichenbehafteten Krümmung Bearbeiten

Der Satz von Descartes lässt sich am einfachsten durch den Begriff der Krümmung ausdrücken. Die vorzeichenbehaftete Krümmung eines Kreises wird definiert durch  , wobei r den Radius bezeichnet. Je größer der Kreis ist, desto kleiner ist der Betrag seiner Krümmung und umgekehrt.

Das Minuszeichen in   gilt für einen Kreis, der die anderen drei Kreise einschließend berührt. Andernfalls ist das Pluszeichen zu setzen.

Betrachtet man eine Gerade als entarteten Kreis mit Krümmung  , so lässt sich der Satz von Descartes auch anwenden, wenn eine Gerade und zwei Kreise gegeben sind, die einander berühren, und ein dritter Kreis gesucht ist, der die Gerade und die gegebenen Kreise berührt.

Satz von Descartes Bearbeiten

Gegeben seien vier einander berührende Kreise mit den Radien  ,  ,   und  . Definiert man wie oben für jeden dieser Kreise die vorzeichenbehaftete Krümmung   (für  ), so ist folgende Gleichung erfüllt:[5]

 

Auflösen dieser Gleichung nach   ermöglicht es, den Radius des vierten Kreises zu bestimmen:

 

Das Plus-Minus-Symbol drückt aus, dass es im Allgemeinen zwei Lösungen gibt.

Beispiel Bearbeiten

 

Gegeben seien drei Kreise mit den Radien  ,   und  . Dementsprechend hat die vorzeichenbehaftete Krümmung die Werte  ,   und  . Die Verbindung der Mittelpunkte dieser drei Kreise (blau) erzeugt ein rechtwinkliges Dreieck (hellgrün). Aus Gleichung   ergeben sich nun die beiden Lösungen   und  . Der winzige Kreis (rot) zwischen den gegebenen Kreisen hat daher den Radius  . Der große Kreis (ebenfalls rot), der die gegebenen Kreise einschließt, hat den Radius  . Da die Mittelpunkte der gegebenen Kreise   und   auf den Eckpunkten eines rechtwinkligen Dreiecks liegen, ermöglicht dies die Festlegung der Kreise   und   in einer einfachen Konstruktion (siehe Abschnitt Konstruktion mit Zirkel und Lineal). Alternativ kann, wie im Folgenden beschrieben, die exakte Position des Mittelpunktes des Kreises   mithilfe eines kartesischen Koordinatensystems algebraisch bestimmt werden.

Aus den gegebenen Kreisradien erhält man die Koordinaten der (nicht bezeichneten) Mittelpunkte  : Kreis   mit  ,   mit   und   mit  . Der Mittelpunkt des Kreises   ist der Schnittpunkt zweier (nicht eingezeichneter) Hilfskreise   und  . Für den Hilfskreis   um den Mittelpunkt des Kreises   ergibt sich der Radius   und für   der Radius  . Mit den nun bekannten Hilfskreisen   und   sind die Koordinaten des Mittelpunktes vom Kreis   mit dem Ansatz Schnittpunkte zweier Kreise bestimmbar. Die nebenstehende Abbildung zeigt: Der Kreis   hat den Nullpunkt als Mittelpunkt und der Kreis   liegt auf der x-Achse. Für diesen Sonderfall gilt:

 ,
 .

Somit hat der Mittelpunkt des kleinsten Kreises   die Koordinaten   und jener der die drei gegebenen Kreise einschließt   die Koordinaten  .

Spezialfälle Bearbeiten

Wird beispielsweise der dritte der drei gegebenen Kreise durch eine Gerade ersetzt, so wird   gleich 0 und fällt aus Gleichung   heraus. Gleichung   wird in diesem Fall wesentlich einfacher:

 

Beispiel Bearbeiten

 

Gegeben seien zwei Kreise mit den Radien   und   sowie eine Gerade, die als Kreis mit unendlichem Radius aufgefasst wird. Die entsprechenden Werte für die vorzeichenbehaftete Krümmung sind  ,   und  . Durch Anwendung von Gleichung   erhält man wieder zwei mögliche Werte, nämlich   und  . Für die Radien der beiden rot gezeichneten Kreise ergibt sich folglich   beziehungsweise  .

Der Satz von Descartes lässt sich nicht anwenden, wenn zwei oder sogar alle drei gegebenen Kreise durch Geraden ersetzt werden. Der Satz gilt auch dann nicht, wenn es mehr als einen einschließend berührenden Kreis gibt, also im Fall von drei ineinander gelegenen Kreisen mit gemeinsamem Berührpunkt.

Komplexer Satz von Descartes Bearbeiten

Um einen Kreis vollständig zu bestimmen, nicht nur seinen Radius (oder seine Krümmung), muss man auch seinen Mittelpunkt kennen. Die Gleichung dafür lässt sich am einfachsten ausdrücken, wenn man die Koordinaten des Mittelpunkts (xy) als komplexe Zahl   interpretiert. Die Gleichung für   ist dem Satz von Descartes sehr ähnlich und wird daher als komplexer Satz von Descartes bezeichnet.

Gegeben seien vier Kreise mit den Mittelpunkten   und den vorzeichenbehafteten Krümmungen   (siehe oben), die einander berühren. Dann gilt zusätzlich zu (1) die Beziehung

 

Durch die Substitution   ergibt sich:

 

Diese Gleichung ist analog zu   und hat die Lösung:

 

Auch hier ergeben sich im Allgemeinen zwei Lösungen.

Hat man   aus Gleichung   ermittelt, so erhält man   durch  

Konstruktion mit Zirkel und Lineal Bearbeiten

Allgemeiner Fall Bearbeiten

 
Allgemeiner Fall, Lösung nach Eppstein,
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Satz von Descartes, allgemeiner Fall,
Lösung nach Eppstein

Im allgemeinen Fall ergibt sich beim Verbinden der drei Mittelpunkte ein allgemeines Dreieck. Gegeben seien drei beliebige Kreise die zueinander tangential angeordnet sind. Gesucht sind die beiden Apollonios-Kreise mit ihren Mittelpunkten, genannt isoperimetrische Punkt bzw. Punkt des gleichen Umwegs. Apollonios von Perge zeigte erstmals, wie eine Lösung allein mit Zirkel und Lineal möglich ist.[6] Das nebenstehende Bild zeigt eine Lösung nach Eppstein.[7]

Es beginnt mit der Verbindung der Kreismittelpunkte. Das dabei entstehende allgemeine Dreieck   bestimmt die drei Tangentenpunkte, auch Berührungspunkte (dunkelblau) genannt. Auf jede Dreiecksseite wird nun eine Senkrechte errichtet, die durch die gegenüberliegende Dreiecksecke (Kreismittelpunkt) und durch den Kreis verläuft. Dabei schneidet die Senkrechte den Kreis in zwei Punkten (hellgrün). Zieht man nun eine Gerade durch jeden dieser Schnittpunkte (hellgrün) und durch den Berührungspunkt (dunkelblau) der beiden anderen Kreise, liefert die Gerade zusätzlich zwei Berührungspunkte (rot), insgesamt bezeichnet mit   und  . Der isoperimetrische Punkt   sowie der Punkt des gleichen Umwegs   werden mittels – nicht eingezeichneter – Mittelsenkrechten der Abstände   und   bzw.   und   bestimmt. Jetzt zieht man den Apollonios-Kreis mit den Berührungspunkten   mit Radius   um   und schließlich den mit den Berührungspunkten   mit Radius   um  .[7][8]

Kreismittelpunkte im rechtwinkligen Dreieck Bearbeiten

 
Kreismittelpunkte im rechtwinkligen Dreieck

Für die folgende Lösung sind zwei Gegebenheiten vorstellbar. Entweder die drei gegebenen Radien der Apollonios-Kreise entsprechen einem Pythagoreischen Tripel wie z. B.   und  , dann liegen die drei Kreismittelpunkte bekanntlich in einem rechtwinkligen Dreieck oder es wird ein rechtwinkliges Dreieck mit beliebigen Seitenlängen – wie im Folgenden erläutert – gewählt.

Nach dem Einzeichnen des rechtwinkligen Dreiecks   in beliebiger Lage und mit beliebigen Seitenlängen werden die Winkelhalbierenden   des Winkels   sowie   des Winkels   bestimmt. Sie schneiden sich im Mittelpunkt des Inkreises. Fällt man nun das Lot vom Inkreismittelpunkt beispielsweise auf die Dreiecksseite  , ergibt sich darauf der Berührungspunkt (dunkelblau) für die Kreise   und  . Das Eintragen des Kreises   liefert den Berührungspunkt (dunkelblau) für den Kreis   und ermöglicht somit auch das Ziehen der Kreise   und  . Es folgt eine Gerade durch die Dreiecksecke   parallel zur Dreiecksseite  , eine zweite durch die Dreiecksecke   parallel zur Dreiecksseite   sowie die Verlängerung der Dreiecksseite   bis zum Kreis  . Schnittpunkte sind der isoperimetrische Punkt  , die Berührungspunkte  ,   auf   bzw.  , Schnittpunkt   sowie der hellgrüne Schnittpunkt auf   aus der Verlängerung der Dreiecksseite   Jetzt wird der Apollonios-Kreis um   mit Radius   eingetragen.

Um den Punkt des gleichen Umwegs   sowie einen Berührungspunkt für den zweiten und letzten Apollonios-Kreis zu bestimmen, bedarf es zunächst einer Geraden. Sie geht durch den Schnittpunkt (hellgrün) des Kreises   und durch den Berührungspunkt (dunkelblau) der Kreise   und  . Dabei schneidet sie im gesuchten Berührungspunkt   den Kreis  . Demzufolge ähnlich wie es bereits oben der allgemeine Fall verlangt. Weiters zieht man eine Halbgerade ab   durch den Inkreismittelpunkt und eine zweite ab der Dreiecksecke   durch den Berührungspunkt   bis sich beide Halbgeraden im Punkt des gleichen Umwegs   schneiden. Abschließend kann man den Apollonios-Kreis um   mit Radius   eintragen.

Verschiedenes Bearbeiten

Die primitiven ganzzahligen Lösungen der vier Radien sind genau die Diagonalprodukte und Zeilenprodukte der beiden zwei-parametrigen Darstellungen der primitiven pythagoräischen Tripel, bspw. liefert das primitive pythagoräische Tripel   mit den (als Spalten geschriebenen) Parameter-Darstellungen   und   die Diagonalprodukte   und die Zeilenprodukte  , welche als Radien aufgefasst dem Satz von Descartes genügen.[9][10]

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. David Gisch and Jason M. Ribando: Apollonios Problem: A study of solutions and their connections. (pdf) V. Connections and Extensions, Fig. 13. American Journal of Undergraduate Research, Band 3, 2004, Nr. 1, 29. Februar 2004, S. 23–24, archiviert vom Original am 15. April 2006; abgerufen am 9. Februar 2024 (englisch).
  2. Dana Mackenzie, A tisket, a tasket, an Apollonian gasket, American Scientist, Band 98, 2010, S. 10–14
  3. David Gisch and Jason M. Ribando: Apollonios Problem: A study of solutions and their connections. (pdf) II. The Euler-Gergonne-Soddy Triangle of a Triangle. American Journal of Undergraduate Research, Band 3, 2004, Nr. 1, 29. Februar 2004, S. 16, archiviert vom Original am 15. April 2006; abgerufen am 9. Februar 2024 (englisch).
  4. David Gisch and Jason M. Ribando: Apollonios Problem: A study of solutions and their connections. (pdf) II. The Euler-Gergonne-Soddy Triangle of a Triangle. American Journal of Undergraduate Research, Band 3, 2004, Nr. 1, 29. Februar 2004, S. 17, archiviert vom Original am 15. April 2006; abgerufen am 9. Februar 2024 (englisch).
  5. Frank Bernhart, H. Lee Price: Heron’s Formula, Descartes Circles, and Pythagorean Triangles. (PDF) 4 The Descartes Circle Theorem. arxiv, Cornell University, 1. Januar 2007, S. 8–9, abgerufen am 8. Februar 2024 (englisch).
  6. David Eppstein: Tangencies: Apollonian Circles. (pdf) University of California, Irvine, abgerufen am 17. Dezember 2023 (englisch).
  7. a b David Gisch and Jason M. Ribando: Apollonius’ Problem: A Study of Solutions and Their Connections. (pdf) III. The Epstein Soulution. American Journal of Undergraduate Research, 29. Februar 2004, S. 20, archiviert vom Original am 15. April 2006; abgerufen am 18. Dezember 2023 (englisch).
  8. David Eppstein: Tangent Spheres and Triangle Centers. (pdf) The Mathematical Assosiation of Amerika, Januar 2001, S. 63–66, abgerufen am 17. Dezember 2023 (englisch).
  9. H. Lee Price: The Pythagorean Tree: A New Species. (PDF) 2 On Parameters, Angles, and Fibonacci Boxes. arxiv, Cornell University, September 2008, S. 8–9, abgerufen am 8. Februar 2024 (englisch).
  10. Frank Bernhart, H. Lee Price: Heron’s Formula, Descartes Circles, and Pythagorean Triangles. (PDF) 5 Pythagorean Triangles. arxiv, Cornell University, 1. Januar 2007, S. 9–11, abgerufen am 8. Februar 2024 (englisch).