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Beschleunigtes Bezugssystem

(Weitergeleitet von Rotierendes Bezugssystem)

Beschleunigte Bezugssysteme sind alle Bezugssysteme, die kein Inertialsystem sind.

Obwohl in beschleunigten Bezugssystemen die physikalischen Gesetze im Allgemeinen komplizierter aussehen (in der Mechanik müssen z. B. bei der Aufstellung von Bewegungsgleichungen Trägheitskräfte berücksichtigt werden), können diese Bezugssysteme in manchen Fällen die Lösung eines Problems vereinfachen.

Das ist meist dann der Fall, wenn das Bezugssystem so gewählt wird, dass die Bewegungen relativ dazu einfach werden:

  • Rotierende Kreis- oder Spiralbewegungen um ein gemeinsames Zentrum lassen sich z. B. oft gut beschreiben, wenn das Bezugssystem um das Zentrum gleichförmig rotiert: Der kreiselnde bzw. spiralende Körper ruht dann darin oder bewegt sich entlang einer Geraden.
  • Das Foucaultsche Pendel wird meist in einem Bezugssystem berechnet, das die Erddrehung mitvollführt.
  • In einem Bezugssystem, das im freien Fall ist, ist die Schwerkraft ausgeschaltet.

In der Klassischen Mechanik sind Zeitintervalle und räumliche Abstände in allen Bezugssystemen gleich. Die Umrechnung der wahrgenommenen physikalischen Größen beim Übergang zu einem anderen Bezugssystem wird daher durch die Euklidische Transformation bewerkstelligt.

Inhaltsverzeichnis

KinematikBearbeiten

 
Inertialsystem K und beschleunigtes Koordinatensystem K'.

BezeichnungenBearbeiten

Sei K ein Bezugssystem und   der Ortsvektor eines Punktes P. Mit den Basisvektoren   lässt sich der Ortsvektor so darstellen:

 

Geschwindigkeit   und Beschleunigung   des Punktes sind:

 
 

Sei K' ein bewegtes Bezugssystem, dessen Koordinatenursprung bei   liegt und das die Basisvektoren   hat. Der Ortsvektor des Punktes P in K' sei  . Seine Komponentendarstellung in Bezug auf K' ist:

 .

Relativ zu K' sind die Geschwindigkeit   und die Beschleunigung   des Punktes:

 
 

Dabei bedeutet der Strich im Symbol  , dass die Differentiation relativ zu K' ausgeführt werden soll, damit   und   die Größen bezeichnen, wie sie im Bezugssystem K' beobachtet werden.

Außerdem gilt:

 .

Zur Vereinfachung der Darstellung werden, wie in der Technischen Mechanik üblich, die im Bezugssystem K beobachteten Größen als Absolutgeschwindigkeit bzw. Absolutbeschleunigung bezeichnet, und die auf K' bezogenen Größen als Relativgeschwindigkeit bzw. Relativbeschleunigung.[1]

Transformation der GeschwindigkeitBearbeiten

Im Folgenden soll die Absolutgeschwindigkeit von P in K durch die Relativgeschwindigkeit von P in K' und die Bewegung von K' in Bezug auf K ausgedrückt werden. Die momentane Bewegung von K' ist, wie bei jedem starren System, in jedem Moment eine Kombination einer Translationsbewegung und einer Rotationsbewegung. Die Translationsbewegung wird mittels der Änderungsgeschwindigkeit von   beschrieben:

 .

Aufgrund der Translationsbewegung bewegen sich alle Punkte von K' parallel, also bleiben auch die Basisvektoren   zeitlich konstant. Aufgrund der Rotationsbewegung ändern sie sich aber. Die Rotationsbewegung von K' hat eine Drehachse durch den Ursprung am Ort   und eine Winkelgeschwindigkeit   und einen Drehsinn, die in der vektoriellen Winkelgeschwindigkeit   zusammengefasst sind. Dann ist die Änderungsgeschwindigkeit der Basisvektoren

 

(Herleitung siehe hier).

Damit kann die Zeitableitung des Vektors  , wie sie im Bezugssystem K erscheint, berechnet werden. Nach der Produktregel ist

 .

Nach den obigen Formeln ist das dasselbe wie

 .

Die gleiche Regel gilt auch für jeden anderen Vektor, wenn man seine Änderungsgeschwindigkeit in K durch die Änderungsgeschwindigkeit in K' und die Bewegung von K' in K ausdrücken will. Zum Beispiel für die Geschwindigkeit:

 .

Für die Absolutgeschwindigkeit   folgt dann:

 .

Der eingeklammerte Ausdruck auf der rechten Seite drückt den Anteil der Absolutgeschwindigkeit des Punktes P aus, der nur durch die Bewegung des Bezugssystems K' zustande kommt. Er wird als Führungsgeschwindigkeit bezeichnet, weil er nicht von der Relativgeschwindigkeit   beeinflusst ist und auch bei   vorhanden ist.

Transformation der BeschleunigungBearbeiten

Die zeitliche Ableitung der letzten Formel ergibt die Absolutbeschleunigung des Punktes P in K, ausgedrückt durch die in K' beobachtbaren Größen   und   sowie die Bewegung von K' in K:

 

Die Größen nach den vorstehenden Formeln eingesetzt und etwas umgeordnet:

 

oder

 

Darin ist:

  Beschleunigung in Bezug zu K
  Translationsbeschleunigung von K' in K
  Zentrifugalbeschleunigung in K'
  Coriolisbeschleunigung in K'
  Eulerbeschleunigung in K'

DynamikBearbeiten

Wenn K ein Inertialsystem ist und   die Bahn eines Massenpunkts in K beschreibt, dann ergibt sich durch Multiplikation der Masse   mit der Beschleunigung   die auf den Massenpunkt wirkende Kraft   :

 .

Einsetzen der obigen Gleichung für   führt auf die Gleichung:

 

Darin ist:

  Kraft zur Erzeugung der Relativbewegung in K' ,
wenn K' ein Inertialsystem wäre
  Kraft zur Erzeugung der
Translationsbeschleunigung von K' in K
  Zentrifugalkraft
  Corioliskraft
  Eulerkraft

Diese Gleichung lässt sich auf verschiedene Weise anwenden:

  • Zusammengesetzte Bewegung: Wenn die Bewegung eines Massenpunkts als eine bestimmte Relativbewegung in einem beschleunigten Bezugssystem K' gegeben ist, dann ergibt sich die dazu nötige Kraft   aus obiger Gleichung. Man sieht, dass außer der Kraft  , die die gegebene Relativbewegung in einem Inertialsystem hervorrufen würde, weitere Kräfte erforderlich sind. Diese werden als Trägheitskräfte bezeichnet, weil sie sich aus der Trägheit des bewegten Massenpunkts gegenüber der Führungsbeschleunigung des Bezugssystems K' ergeben.
  • Scheinkräfte: Wenn eine Bewegung   relativ zu einem beschleunigten Bezugssystem K' beobachtet wird, dann kann man die wirkende Kraft nicht allein aus   erschließen, sondern muss nach obiger Gleichung zu   die Trägheitskräfte addieren. Diese können je nach Art der Beschleunigung von K' verschieden sein und werden nicht durch die Wirkung andere Körper verursacht.
  • Newtonsche Mechanik im beschleunigten Bezugssystem: Auch in einem beschleunigten Bezugssystem lässt sich die Bahn   eines Körpers aus der newtonschen Grundgleichung   ermitteln, indem man für   diejenige effektive Kraft einsetzt, die sich nach obiger Gleichung aus der äußeren Kraft   und den Trägheitskräften ergibt:
 
Im Folgenden werden verschiedene Spezialfälle hiervon diskutiert:

Beschleunigte TranslationsbewegungBearbeiten

Hier gilt  , so dass sich die Bewegungsgleichung vereinfacht zu:

 

Dies ist z. B. der Fall eines mit einem geradlinig bewegten Fahrzeug verbundenen Bezugssystems. Im einfachsten Fall ist  , etwa wenn das Gewicht des Körpers durch die Auflagefläche kompensiert wird. Es gilt dann  , d. h. die auf das Fahrzeug bezogene Beschleunigung ist genau entgegengesetzt zur Beschleunigung des Fahrzeugs. Beim Bremsen bewegt sich der Körper im Fahrzeug nach vorn, beim Anfahren nach hinten (z. B. Autofahren: „Kopfnicker“ beim ruckartigen Bremsen oder Anfahren).

Rotierendes BezugssystemBearbeiten

Es soll   gelten, d. h. der Ursprung von K' bewegt sich nicht oder nur gleichförmig geradlinig gegenüber K:

 

Bezugssystem an der ErdoberflächeBearbeiten

Die Winkelgeschwindigkeit der Erde ist konstant, d. h.  . Hier rotiert   (= Vektor vom Erdmittelpunkt zum Ursprung von K' an der Erdoberfläche) mit derselben Winkelgeschwindigkeit wie K' :

 

Stellt man   bzgl. K' dar, so ergibt die zweite Zeitableitung (  ist bzgl. K' konstant):

 

Somit ergibt sich die Bewegungsgleichung:

 

Für Bewegungen, die in der Nähe der Erdoberfläche verlaufen, kann man den letzten Term vernachlässigen, da hier   gilt.

Setze als Kraft die Gewichtskraft   ein:

 

Man fasst normalerweise die Gravitationsbeschleunigung (  wirkt in radiale Richtung) und die Zentrifugalbeschleunigung (  wirkt senkrecht zur Erdachse) zusammen zu einer effektiven Schwerebeschleunigung (die Richtung folgt aus der Vektorsummenbildung). Da die Zentrifugalbeschleunigung von der geographischen Breite abhängt (an den Polen Null und am Äquator maximal), ist die effektive Schwerebeschleunigung von der geographischen Breite abhängig; die Erdoberfläche ist näherungsweise eine Äquipotentialfläche der effektiven Schwerebeschleunigung, nämliche ein Ellipsoid, das im Vergleich zur Kugel an den Polen abgeplattet ist.   bestimmt die Vertikale von der Erdoberfläche, die von der radialen Richtung etwas abweicht.

Man betrachte ein mitbewegtes Koordinatensystem K' auf der Erdoberfläche, das so ausgerichtet ist, dass   in Richtung Osten,   in Richtung Norden und   zum Zenit zeigt. Die Winkelgeschwindigkeit der Erde lautet in K', wobei   die geographische Breite ist,

 

Somit lautet die Coriolisbeschleunigung

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • F. Scheck: Theoretische Physik 1. Mechanik. Springer Verlag, ISBN 978-3-540-71377-7
  • Jürgen Dankert und Helga Dankert: Technische Mechanik. Springer, 6. Auflage, 2011, Kap. 27.2 ff.
  • Martin Mayr: Technische Mechanik: Statik, Kinematik – Kinetik – Schwingungen, Festigkeitslehre. 6. überarbeitete Auflage. Hanser, 2008, ISBN 978-3-446-41690-1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. Diese Wortwahl bedeutet nicht, dass es in der klassischen Mechanik so etwas wie "absolute Ruhe" oder "absolute Geschwindigkeit" gäbe. Siehe Relativitätsprinzip#Klassische Mechanik.