Rot-Schwarz-Baum

Datenstruktur in der Informatik
Rot-Schwarz-Baum
Komplexität
bei Elementen
Platz
Operation im Mittel,
amortisiert
Worst Case
Suchen
Querschritt
Min, Max
Einfügen
Löschen
Platz- und Zeit-Komplexitäten

Ein Rot-Schwarz-Baum, auch RS-Baum oder RB-Baum, (englisch red–black tree oder RB tree) ist eine Datenstruktur vom Typ binärer Suchbaum, die „sehr schnellen“ Zugriff auf die in ihr gespeicherten Schlüssel garantiert. Rot-Schwarz-Bäume wurden zuerst 1972 von Rudolf Bayer beschrieben,[1] welcher sie symmetric binary B-trees nannte. Der heutige Name geht auf Leonidas J. Guibas und Robert Sedgewick zurück, die 1978 die rot-schwarze Farbkonvention einführten.[2] Die schnellen Zugriffszeiten auf die einzelnen im Rot-Schwarz-Baum gespeicherten Elemente (meist Paare vom Typ (Schlüssel,Wert)) werden durch zwei Forderungen erreicht, die die Balance des Baums in einer Weise festlegen, dass die Höhe eines Baums mit Elementen nie größer als sein kann.[Anm. 1] Somit können die wichtigsten Operationen in Suchbäumen – Suchen, Einfügen und Löschen – garantiert in (s. Landau-Symbole) ausgeführt werden.

DefinitionBearbeiten

Zusätzlich zu den Eigenschaften des binären Suchbaums hat jeder Knoten des Rot-Schwarz-Baums ein weiteres Attribut, genannt Farbe, das zwei Werte annehmen kann, genannt „rot“ (engl. RED) und „schwarz“ (engl. BLACK). Diese Einfärbung hat die folgenden zwei Forderungen zu erfüllen:[3]

  • Forderung !RR   („Nicht Rot Rot“):
Ein Kindknoten eines roten Knotens ist schwarz.
  • Forderung S#=   („Schwarz Zahl Gleich“):
Jeder Pfad von einem gegebenen Knoten zu einem seiner Nachfahren mit Ausgangsgrad ≤1, d. h. zu Blättern oder Halbblättern, im Folgenden kurz „Pfadendengenannt,[4] enthält die gleiche Anzahl schwarzer Knoten.
 
Rot-Schwarz-Baum
der Baumhöhe 4 und der Schwarzhöhe 2

Eine unmittelbare Folge aus den Forderungen ist, dass ein Halbblatt   (bspw. der Knoten   im Beispielbaum) schwarz und sein (einzelnes) Kind   (der Knoten  ) rot sein muss, denn beide sind Pfadenden, und der Pfad zum Pfadende  links ist um genau den Knoten   kürzer.

Aus beiden Forderungen zusammen folgt ähnlich unmittelbar, dass ein schwarzer Knoten, der nicht die Wurzel ist, ein Geschwister hat.

Schwarzhöhe, BaumhöheBearbeiten

Die auf allen Pfaden von Pfadende zu Wurzel gleiche Anzahl   schwarzer Knoten wird die Schwarzhöhe (englisch black height)[5][6] genannt: des Baums, aber auch seiner Wurzel. Nach dieser Definition ist ein (echter) Knoten der Schwarzhöhe 0 ein rotes Blatt (seine Baumhöhe ist 1) wie bspw. die Knoten   im Beispielbaum. Ein (echter) schwarzer Knoten hat eine Schwarzhöhe ≥ 1. Die roten Knoten   aber auch die schwarzen Knoten   haben Schwarzhöhe 1. Die schwarzen Knoten   haben Baumhöhe 2, die Knoten   Baumhöhe 1, und   ist der einzige Knoten mit Ausgangsgrad 1, das einzige Halbblatt.

Durch die zwei Forderungen[7] wird die wichtigste Eigenschaft von Rot-Schwarz-Bäumen sichergestellt:

Ist   die Schwarzhöhe des Baums, dann gibt es wegen der Forderung S#= auf einem Pfad von der Wurzel zu einem Pfadende genau   schwarze Knoten, aber wegen der Forderung !RR höchstens einen roten Knoten mehr als schwarze, also insgesamt maximal   Knoten. Damit gilt für die Zahl   aller Knoten im Baum  , so dass der Rot-Schwarz-Baum immer gut genug balanciert ist – auf jeden Fall so gut, dass das Verhältnis zwischen der Baumhöhe   für die   gilt, und dem Logarithmus der Knotenzahl   beschränkt bleibt. Diese logarithmische Beschränkung, die im § Höhenbeweis formal bewiesen wird, ist aber gleichzeitig das informationstheoretische Optimum, d. h. es gibt keinen Binärbaum mit kleinerer maximaler Pfadlänge  

Bei den herausgehobenen Operationen Suchen, Einfügen und Löschen ist der auf einer Ebene des Baums anfallende Aufwand konstant. Also ist die Laufzeit höchstens proportional zur Anzahl der Knoten in einem Pfad, die wieder durch die Höhe limitiert ist, welche ihrerseits durch den Logarithmus der Knotenzahl limitiert ist.

NIL-KnotenBearbeiten

Dieser Artikel nimmt die im Artikel Binärer Suchbaum in dessen Abb. 1A aufgezeigte und bei vielen Baumstrukturen übliche Sichtweise ein, bei der die Knoten die Schlüssel tragen („knotenorientierte Speicherung“), unabhängig davon, ob sie interne Knoten oder (interne) Blätter sind.

 
Derselbe Rot-Schwarz-Baum mit NIL-Knoten
(Baum- und Schwarzhöhe sind 4 und 2 – wie oben)

Sehr verbreitet in der Literatur über Rot-Schwarz-Bäume ist die nebenstehende und im Artikel Binärer Suchbaum in dessen Abb. 1B gezeigte Sichtweise, bei der – ebenfalls knotenorientiert – die die Schlüssel tragenden Knoten als intern angesehen werden, dem Baum aber zusätzliche Knoten, so genannte „NIL-Knoten“, als externe Blätter angeheftet sind, die an den Pfadenden für die (randlosen) Intervalle (englisch auch „missing nodes[8]) zwischen den Schlüsseln stehen. Die Darstellung mit NIL-Knoten bringt das eine Pfadende beim Knoten   ähnlich deutlich heraus wie die paarigen Pfadenden bei den Knoten   Gleichwohl lassen sich die NIL-Knoten sowohl als unterschiedslose Nullzeiger (so im Text) wie als unterschiedslose Wächterknoten implementieren.

Werden die NIL-Knoten jedoch als individuelle Knoten aufgefasst, dann kommt für sie eine Forderung hinzu, so dass sich folgende drei Forderungen ergeben:[9]

  • NIL-Knoten sind schwarz.
  • Kinder eines roten Knotens sind schwarz.
  • Die Anzahlen schwarzer Knoten in einem Pfad von einem gegebenen Knoten zu jedem seiner NIL-Knoten sind gleich.

Diese zweite Sichtweise hat für das Verständnis der Sachverhalte einen vernachlässigbaren Nutzen, bei „naiver“ Implementierung ist ihr Einfluss jedoch eher ungünstig.[Anm. 2]

DatenstrukturBearbeiten

Der nachfolgende Beispielcode, der in der Programmiersprache C formuliert ist, nimmt Bezug auf eine Deklaration des Baumknotens der folgenden Art:

 struct node              // Knotenfeld
  {
   struct node* child[2]; // zwei Zeiger zu Kindknoten,
                          // == NULL bedeutet:
                          //   kein Knoten an dieser Stelle
   byte color;            // RED oder BLACK
   ...                    // Benutzer-Daten (z. B. Schlüssel, Wert)
  } ;

 #define LEFT  0
 #define RIGHT 1
 #define left  child[LEFT]  // -> linker  Kindknoten
 #define right child[RIGHT] // -> rechter Kindknoten
 #define RED   0
 #define BLACK 1

Befindet sich an einer Stelle im Baum, an der syntaktisch ein Zeiger zu einem Knoten erwartet wird, ein Nullzeiger, so soll dies verabredungsgemäß das Fehlen eines Knotens (einen sog. „Nullknoten“) an dieser Stelle des Baums bedeuten (der Knoten gilt als unecht). M. a. W.: der von einem NULL-Knoten gewurzelte Teilbaum ist leer. Sein Zeigerwert X == NULL, ist weniger wichtig als der Ort, wo dieser Wert in der Datenstruktur steht. Dieser Ort gibt die graphentheoretischen Beziehungen zu den anderen Elementen des Baums an: Ohne selbst einen Knoten zu repräsentieren, kann er in Kindesbeziehung, und damit auch in Geschwister- und Onkelbeziehung zu anderen Knoten stehen – niemals aber ein Elter sein.
Seine Baumhöhe und Schwarzhöhe gelten beide als 0, und Farbe ist ihm auch nicht zugeordnet. Er hat einen Elter (wenn er die Wurzel ist, den Baum als logischen Elter), aber niemals einen Zeiger zum Elter.
Funktionell entspricht er exakt dem NIL-Knoten, ohne dass ihm allerdings irgendeine Individualität zukäme.

Wegen der 1:1-Beziehung zwischen einem Knoten und dem von ihm gewurzelten Teilbaum wird im Beispielcode eine Variable unterschiedslos als Zeiger auf den Knoten wie auf den Teilbaum verwendet.

Werden der Datenstruktur Rot-Schwarz-Baum Operationen zum Zugriff und zur Verwaltung beigegeben, so werden diese nur dann als zugehörig angesehen, wenn sie die Rot-Schwarz-Forderungen aufrechterhalten, indem sie insbesondere den Baum nach einer modifizierenden Operation überprüfen und wenn nötig reparieren. So erweitert wird die Datenstruktur zu einem Abstrakten Datentyp (ADT). Bei Suchbäumen gibt es im Englischen dafür auch die Charakterisierung als self-balancing tree.

Zeichenerklärung zu den DiagrammenBearbeiten

Die komplexeren Fälle der Einfüge- und Löschoperation werden weiter unten in Diagrammen skizziert. Diese Diagramme stellen die für die Rebalancierung relevanten Beziehungen und Farben von Knoten heraus.

Ein Diagramm in einer linken Spalte bezieht sich auf eine erste Iterationsstufe eines Falles, während eines in rechter Spalte höhere Iterationen desselben Falles beschreibt. Jedes Diagramm enthält mindestens zwei Abschnitte:

  1. Im ersten (mit „vorher“ beschrifteten) Abschnitt die Ausgangskonstellation.
  2. Im zweiten (mit „transformiert“ beschrifteten) Abschnitt die durch Umfärbung und/oder Rotation transformierte Konstellation.
  3. Wenn der Baum dann noch nicht rebalanciert ist, im dritten (mit „nachher“ beschrifteten) Abschnitt die Konstellation nach der erneuten Zuweisung des Problemknotens   und der an ihm hängenden anderen Knoten.

Obwohl eine erste Iterationsstufe in den höheren im Prinzip enthalten ist, wird sie um der größeren Deutlichkeit willen gebracht, und zwar ohne die Teilbäume nicht-positiver Höhe.
Beim Löschen wird in der ersten Iterationsstufe das Pfadende, das einen schwarzen Knoten verloren hat (und das dem Problemknoten   entspricht, der hier ein Nullknoten ist), durch einen blauen Pfeil nach links   markiert.

  1. Der alte Problemknoten (  im Abschnitt „vorher“ eines Diagramms) hat eine blaue Kontur; und wenn die Operation nicht beendet ist, dann auch der neue (im Abschnitt „nachher“).
  2. Das Symbol   stellt einen (echten) schwarzen und   einen (echten) roten Knoten dar.
  3. Das Symbol   stellt einen !RR-konform bei seinem Elter angebundenen Teilbaum dar. Er hat die Schwarzhöhe   mit   als der Iterationsstufe.
    In der ersten Iterationsstufe ist die Schwarzhöhe 0. Dann besteht der Teilbaum entweder
    • aus einem roten Blatt oder
    • er ist leer, wann der „Knoten“ auch als unecht und Nullknoten gilt.
  4. Das Dreieck   (ohne die kleine schwarze Kreisfläche an der Spitze) symbolisiert einen !RR-konform bei seinem Elter angebundenen Teilbaum, dessen Schwarzhöhe   ist mit   als der Iterationsstufe. Seine Schwarzhöhe ist also um 1 niedriger als die der  -Teilbäume. In der ersten Iterationsstufe wäre die Schwarzhöhe negativ, was so zu interpretieren ist, dass schon sein Elter ein Nullknoten ist.
  5. Zweimal   in einem Diagramm oder auf einer Zeile der Zusammenschau bedeutet zweimal dieselbe Knotenfarbe, schwarz oder rot.

NavigationsoperationenBearbeiten

Die Navigationsoperationen, das sind die verschiedenen Suchoperationen, das Traversieren, Aufsuchen erstes oder letztes Element und ähnliche, lassen den Baum unverändert (nur lesender Zugriff) und funktionieren im Prinzip auf jedem binären Suchbaum. Die dortigen Algorithmen und Angaben zur Komplexität gelten genauso für Rot-Schwarz-Bäume – mit der Präzisierung, dass die Höhe des Rot-Schwarz-Baums sich immer logarithmisch zur Anzahl der Knoten verhält.

Das Suchen eines Elements (oder einer Lücke) anhand seines Schlüssels ist die wichtigste unter den Navigationsoperationen. (Die (Höhen-)Balancierung des Rot-Schwarz-Baums versucht, auf diese Operation hin zu optimieren.) Sie unterstützt eine Art „direkten Zugriff“ (im Gegensatz zum sequentiellen Zugriff der Traversierung) und wird in der Regel als vorausgehende Operation bei den Modifikationsoperationen (Einfügen oder Löschen) zum Auffinden des betroffenen Knotens eingesetzt.

Das Suchen setzt eine totale Quasiordnung auf der Menge der Schlüssel voraus, die am flexibelsten durch eine Vergleichsfunktion realisiert wird. Wenn Duplikate im Baum erwünscht sind, dann empfiehlt sich eine leicht abgewandelte Suchfunktion.

Operation EinfügenBearbeiten

Die ersten Aktionen beim Einfügen eines neuen Elements   in den Rot-Schwarz-Baum sind dieselben wie bei einem binären Suchbaum: Der Zeiger zum neuen Knoten ersetzt einen Nullzeiger, der an einem Pfadende steht und als Indikator für das Fehlen entweder der Wurzel, falls der Baum leer ist, oder – bei einem Schlüssel tragenden Knoten   – für das Fehlen des linken oder des rechten Kindes steht.

Im unten stehenden Beispielcode wird angenommen, dass diese Richtung, die das letzte Ungleich-Ergebnis einer Suche nach dem Schlüssel von   reflektiert, im Funktionsparameter d ∈ {LEFT,RIGHT} übergeben wird.[10] Ferner wird angenommen, dass diese Suchfunktion den Stapel struct node* Parents[] der Vorfahren von   gebildet hat.[11] Der ebenfalls übergebene Zeiger struct node** pParent zeigt in diesem Stapel auf den Zeiger des direkten Elters des einzufügenden Knotens. Wenn der Baum leer ist, ist pParent < &Parents[0] (und d irrelevant). Andernfalls ist Parents[0] gleich dem Zeiger auf den Wurzelknoten, pParent&Parents[0], und d die Kindesrichtung des neuen Knotens.

Der Knoten   wird zunächst rot gefärbt, damit die Schwarzhöhe des Baumes erhalten bleibt.[12]

Die darauf folgenden Aktionen überprüfen, ob die Rot-Schwarz-Balance im Baum eingehalten ist und stellen sie wenn erforderlich wieder her. Diese Reparatur wird als „Rebalancierung“ (englisch rebalancing) bezeichnet.

Der neue Knoten   (wie englisch node) ist der gerade betrachtete „Problemknoten“. Sein Elter ist   (wie englisch parent). Der Großelter sei   (wie englisch grandparent) und der Onkel (das Geschwister des Elters)   (wie englisch uncle) genannt.

Der Kopf der Funktion RBinsert1 zum Einfügen eines Knotens nach einer vorher erfolgten und nicht erfolgreichen Suchoperation könnte wie folgt aussehen:[13]

 void RBinsert1(
   RBtree* T,                // -> Rot-Schwarz-Baum
   struct node*   Parents[], // Liste der -> Vorfahren
   struct node** pParent,    // ->-> Nachbarknoten (wird zum Elterknoten von N)
   struct node* N,           // -> einzufügender Knoten
   byte d)                   // (Kindes-)Richtung der Einfügung  {LEFT, RIGHT}
  {
   struct node* P;           // -> Elterknoten von N
   struct node* G;           // -> Elterknoten von P
   struct node* U;           // -> Onkel von N

   N->color = RED;
   if (pParent >= &Parents[0]) // N ist nicht die neue Wurzel
    {
     P = *pParent;    // -> Nachbarknoten (wird zum Elterknoten von N)
     P->child[d] = N; // neuer Knoten als d-Kind von P
     goto Start_E;    // Sprung in die Schleife
    } // end_if
   // pParent < &Parents[0]
   T->root = N; // N ist die neue Wurzel des Baums T.
   return; // Einfügung fertiggestellt

   // Beginn der (do while)-Schleife:
   // Bedingung_E0 trifft NICHT zu: pParent >= &Parents[0]:
   do
    {
     // ===> Es gibt den Elter P von N.
     N = G; // neuer Problemknoten (kann die Wurzel sein)
     P = *pParent; // -> Elterknoten von N
 Start_E:

Einfügen: Die Schleife zur Überprüfung und Reparatur des Baums steigt vom roten Blatt   zur Wurzel auf. Ihre Invariante ist:

  • Die Forderung !RR („Nicht Rot Rot“) gilt für alle Paare (Knoten←Elter) im Baum mit höchstens einer Ausnahme – beim Paar (  ). Dies wird als „Rot-Verletzung“ (englisch red violation) angesehen, welche   als „Problemknoten“ definiert.
    Gilt !RR auch dort, entweder weil der Elter   nicht existiert (Fall E0) oder schwarz ist (Fall E1), dann ist der Baum in Rot-Schwarz-Form.
  • Zu Beginn jedes Iterationsschritts ist der Problemknoten rot.
  • Die Forderung S#= („Schwarz Zahl Gleich“) gilt für den ganzen Baum.

Die Zusammenschau bringt die Diagramme in einer auf die Farbkonstellation zugespitzten Form.

Bedingung Fall
Rota-
tion
Zuwei-
sung
Ergebnis
Test
 
      x       x
E0
  E1  
      E2  :=  ? ? ? ? E0 1
      i E3     :=        o E4 0
      o E4         
  E5  
Einfügen: Zusammenschau der Fälle

Einfügen: Zusammenschau der Fälle[14]

Die möglichen Konstellationen lassen sich in sechs Fälle aufteilen, zu denen es Transformationen (enthaltend Rotation und/oder Umfärbung) gibt, die entweder auf der betrachteten Ebene oder über weitere Iterationsschritte auf höheren Ebenen zur Rebalancierung des Baumes führen.

In der nebenstehenden Tabelle wird ein Fall durch eine Zeile repräsentiert, die

  • die Bedingung, das ist die Konstellation, die den Fall definiert und die dem Abschnitt „vorher“ des zum Fall gehörigen Diagramms – falls vorhanden – entspricht,
  • die Fallnummer,
  • die Konstellation nach Transformation und ggf. Zuweisung in der Spaltengruppe Ergebnis

enthält. Eine Konstellation besteht aus maximal 4 Gegebenheiten, und zwar aus den Farben der 3 Knoten   und   Manche Fälle benötigen darüber hinaus eine vierte Angabe x zur Kindesrichtung von   und zwar steht „o“ (wie englisch outer) für eine Rechts-Rechts- oder Links-Links-Kindesrichtung von   zu   zu   und „i“ (wie englisch inner) für Rechts-Links oder Links-Rechts. Eine Zelle ist leer gelassen, wenn es auf die Angabe nicht ankommt.

Die Konstellationen in der Gruppe Bedingung genügen der Schleifeninvariante, und ihre logische Summe schöpft diese zu 100 % aus.

Die Transformation, deren Fallnummer in der Spalte Fall verlinkt ist, transformiert die Eingabe-Konstellation (als Teilbaum dargestellt im mit „vorher“ beschrifteten Abschnitt des zum Fall gehörigen Diagramms) in die mit „transformiert“ beschriftete Konstellation. Steht ein Häkchen „✓“ in der Spalte Test, dann reflektiert die Gruppe Ergebnis diesen Stand, mit dem alle Rot-Schwarz-Forderungen erfüllt sind und mit dem die Einfügeoperation abgeschlossen ist. Andernfalls steht dort die Fallnummer derjenigen Bedingung, auf die die transformierte und neu zugewiesene Konstellation zu testen ist, wobei die entsprechende Zuweisung, angegeben in der Spalte Zuweisung für den Problemknoten   auch die Knoten   sowie die Angabe x zur Kindesrichtung von   neu zuordnet. Die Spaltengruppe Ergebnis und der mit „nachher“ beschriftete Abschnitt des Diagramms zeigt die Konstellation nach der Zuweisung; Fragezeichen stehen in den Zellen, auf deren Angabe es in den nachfolgenden Tests ankommt.

In der Spalte Test kommt der Eintrag „E0“ nur bei der Transformation_E2 vor. Er bedeutet einen neuen Iterationsschritt, der mit dem Test auf die while-Bedingung_E0 in der do while-Schleife beginnt, und zwar zwei Baumebenen (eine Schwarzebene  ) näher an der Wurzel. Danach sind auch die Schwarzhöhen aller Teilbäume ≥ 1. Da die Anzahl der Baumebenen mit der Höhe   übereinstimmt, können maximal   Iterationen vorkommen. Nun ist der Aufwand für eine Iteration beschränkt (d. h. in  ) und damit der für die gesamte Einfügeoperation in   (mit oder ohne Suchen). Die reine Rebalancierung ist gemäß § Durchschnittliche und amortisierte Laufzeit im Mittel und amortisiert in  

Bei einem Eintrag in der Spalte Rotation ist eine Rotation an der Transformation beteiligt. Man entnimmt der Tabelle sofort, dass bei einer Einfügeoperation maximal zwei Rotationen vorkommen, und zwar bei Fall E4 nach Fall E3. Denn nach einer Rotation kommt kein neuer Iterationsschritt – die Rotationen befinden sich endrekursiv am Ende der letzten ausgeführten Iteration.

Die Kindesrichtung von   entscheidet insbesondere über die nachfolgenden Rotationsrichtungen. Bei Fall E3 bestimmt sie aber auch die Auswahl des Falles: Hat   dieselbe Kindesrichtung wie   dann ist die Angabe x (s. Zusammenschau) auf „o“ für „außen“, sonst auf „i“ für „innen“ zu setzen.[15]

Im folgenden Beispielcode zur Operation Einfügen hält die Variable d die Kindesrichtung des Knotens   Die Diagramme zeigen   immer als linkes Kind.

Jeder Fall wird unter seiner Fallnummer erläutert und einschließlich Test (auf die ihn charakterisierende Bedingung) und Transformation durch ein Stück C-Code genau beschrieben.[16]

Einfügen Fall E1: Der Elter   des (roten) Problemknotens   ist schwarz.

Nach Eintritt dieser Bedingung gibt es kein Paar (Knoten←Elter) (mehr), das die Forderung !RR verletzt. Ferner ist nach Voraussetzung (Schleifeninvariante) die Anzahl der schwarzen Knoten auf allen Pfaden dieselbe. Damit ist der Baum ohne weitere Aktion in Rot-Schwarz-Form.

     if (P->color == BLACK) // Bedingung_E1
       // Transformation_E1:
       return; // Einfügung fertiggestellt

     // In den verbleibenden Fällen ist der Elter P rot.
     if (pParent <= &Parents[0]) // Bedingung_E5
       goto Fall_E5; // Der Elter P ist die Wurzel.

Im Folgenden ist der Elter   nicht die Wurzel, so dass der Großelter   existiert. Da   rot ist, muss   schwarz sein (so bei den folgenden Fällen E2, E3 und E4).

 
Iterationstufe  


Einfügen Fall E2: Sowohl der Onkel   als auch der Elter   des Problemknotens   ist rot.

Die Umfärbung von   und   in schwarz und von   in rot stellt die Forderung !RR im Teilbaum mit Wurzel   wieder her (und zwar bei beiden Kindesrichtungen von  ). Auf keinem Pfad ändert sich die Anzahl der schwarzen Knoten. Durch diese Transformation_E2 wird die „Rot-Verletzung“ um zwei Baum-Ebenen (eine Schwarz-Ebene) nach oben verschoben mit   als neuem Problemknoten.[Anm. 3]

     G = *(--pParent);    // Der Großelter G von N existiert.
     d = (P == G->right); // Kindesrichtung von P
     if ((U = G->child[!d]) == NULL || U->color == BLACK)
       goto Test_E3;      // Der Onkel U ist schwarz.
     // Bedingung_E2: N+P+U rot
     // Transformation_E2:
     P->color = BLACK;
     U->color = BLACK;
     G->color = RED;

     // Iteration zwei Ebenen (1 Schwarzebene) höher
    } while (--pParent >= &Parents[0]);
    // Ende der (do while)-Schleife

Einfügen Fall E0: Der Problemknoten (hier:  ) ist die Wurzel. (Wie oben angemerkt, könnte eine rote Wurzel ohne Verletzung der Rot-Schwarz-Forderungen auf schwarz umgefärbt werden[7] – was den Test auf Bedingung_E5 und den Fall E5 überflüssig machen würde.)

Nach der obigen Transformation_E2 ist !RR („Nicht Rot Rot“) überall erfüllt, und der Baum in Rot-Schwarz-Form.

   // Bedingung_E0: pParent < &Parents[0]
   //               ===> G ist die alte und neue Wurzel des Baums T.
   return; // Einfügung fertiggestellt
 
Iterationstufe  


Einfügen Fall E3: Der Problemknoten   hat keinen oder einen schwarzen Onkel und hat eine Kindesrichtung entgegengesetzt zu der seines roten Elters   d. h.,   ist innerer Enkel.

Eine Rotation um  [Anm. 4] vertauscht die Rollen von   und   und zwar eine Linksrotation, wenn   linkes Kind (d. h. d == LEFT) ist, sonst eine Rechtsrotation. (Im Folgenden wird eine solche Rotation als d-Rotation bezeichnet.) Dadurch werden die Pfade des Teilbaums   so verändert, dass sie durch einen Knoten mehr und die des Teilbaums   durch einen weniger führen. Da jedoch in beiden Fällen rote Knoten den Unterschied ausmachen, ändert sich an der Anzahl der schwarzen Knoten nichts, womit die Forderung S#= und die Schleifeninvariante erfüllt bleibt.

Die Ergebniskonstellation entspricht der Eingangskonstellation des Falles E4 mit   als dem neuen Problemknoten.

 Test_E3:
   if (N != P->child[d]) // Bedingung_E3: N ist innerer Enkel
                         //               && N+P rot && U schwarz
    {
     // Transformation_E3:
     // rotate(P,d); // d-Rotation um P:
     P->child[!d] = N->child[d]; // neuer Elter für Teilbaum 3
     N->child[d] = P;
     G->child[d] = N;
 
     // Neuzuweisung nach der Transformation:
     N = P; // neuer Problemknoten (rot) und äußerer Enkel
     P = G->child[d]; // neuer Elter von N (rot)
    }
 
Iterationstufe  


Einfügen Fall E4: Der Problemknoten   hat keinen oder einen schwarzen Onkel. Seine Kindesrichtung ist dieselbe wie die von   d. h.,   ist äußerer Enkel.

Eine (nicht-d)-Rotation um  [Anm. 4] macht   zum Elter sowohl von   als auch von   Da   rot war, muss wegen Forderung !RR   schwarz sein. Invertiert man nun die Farben von   und   so ist in dem dadurch entstehenden Baum die Forderung !RR wieder erfüllt. Die Forderung S#= bleibt ebenfalls erfüllt, da alle Pfade, die durch einen dieser drei Knoten laufen, vorher durch   liefen und nun alle durch   laufen, der inzwischen – wie   vor der Transformation – der einzige schwarze der drei Knoten ist.

   // Bedingung_E4: N ist äußerer Enkel && N+P rot && U schwarz
   // Transformation_E4:
   // rotate(G,!d); // (nicht-d)-Rotation um G:
   G->child[d] = P->child[!d]; // neuer Elter für Teilbaum 3
   P->child[!d] = G;
   if (--pParent >= &Parents[0])
    {
     // Ersetze G bei seinem Elter durch P:
     U = *pParent;
     U->child[G == U->right] = P;
    }
   else // G war die Wurzel
     T->root = P; // P ist die neue Wurzel
 
   P->color = BLACK;
   G->color = RED;
   return; // Einfügung fertiggestellt

Einfügen Fall E5: Der rote Elter   des Problemknotens   ist gleichzeitig die Wurzel des Baums.

Eine Umfärbung von   in schwarz stellt die Forderung !RR im ganzen Baum wieder her. Auf jedem Pfad erhöht sich die Anzahl der schwarzen Knoten um 1.

 Fall_E5:
   // Der Elter P von N ist die Wurzel des Baums.
   // Transformation_E5:
   P->color = BLACK;
   // Da P rot war,
   // erhöht sich die Schwarzhöhe des Baumes um 1.
   return; // Einfügung fertiggestellt
  } // Ende RBinsert1

Operation LöschenBearbeiten

Das Löschen eines Knotens, sein Name sei   (wie englisch remove), aus einem Rot-Schwarz-Baum erfolgt wie bei einem binären Suchbaum.

Den Fall, dass   die kinderlose Wurzel ist, erledigt man sofort, indem man sie durch einen Nullknoten ersetzt. Hat der Knoten   ein oder gar kein Kind, dann bleibt er der Löschknoten.

Hat   aber zwei Kinder, dann nimmt man, ohne letztlich die Sortierreihenfolge zu stören, als effektiven Löschknoten seinen hinsichtlich Reihenfolge linken oder rechten Nachbarn (dieser kann kein rechtes resp. kein linkes Kind haben!) – natürlich, nachdem man vorher die Benutzerdaten ausgetauscht hat.[17] Die Löschung kann also durch die Entfernung eines Knotens mit maximal einem Kind durchgeführt werden, eines Knotens, der weiterhin mit   benannt sei.

Hat   genau ein Kind, so sei dieses mit   (wie englisch node) bezeichnet; es muss ein roter Knoten sein. Hat   kein Kind, so stehe   für einen Nullknoten. In beiden Fällen sei   (wie englisch parent) der Elter von   und d (wie englisch direction) die Kindesrichtung von   (rechtes oder linkes Kind von  ). Und in beiden Fällen wird   durch   als d-Kind von   ersetzt.

Die nun folgenden Aktionen überprüfen, ob die Rot-Schwarz-Eigenschaften im Baum eingehalten sind und stellen sie wenn nötig wieder her.

Einfache FälleBearbeiten

Ist   rot, so hat es kein Kind. Und da alle Pfade, die durch den roten Knoten verliefen, nach seiner Entfernung aus dem Baum durch einen roten Knoten weniger verlaufen, ändert sich an der Anzahl der schwarzen Knoten nichts, womit die Forderung S#= („Schwarz Zahl Gleich“) erfüllt bleibt.

Ebenfalls einfach zu lösen ist der Fall, wenn   schwarz ist und ein Kind hat. Dieses ist dann zwangsläufig rot. Man färbt es schwarz und macht es an der Kindesrichtung d zum Kind von   Damit ist   aus dem Baum entfernt, und die Forderung !RR („Nicht Rot Rot“) bleibt erfüllt. Ferner verlaufen nun alle Pfade, die durch den gelöschten schwarzen Knoten verliefen, durch sein nunmehr schwarzes Kind, so dass auch die Forderung S#= erfüllt bleibt.

Das Löschen eines schwarzen BlattesBearbeiten

Übrig bleibt der Fall, dass der Knoten   schwarz ist und kein Kind hat, also ein schwarzes Blatt ist. Nachdem die Löschung der kinderlosen Wurzel oben erledigt wurde, ist   nicht die Wurzel.

Nach der Ersetzung von   bei   durch einen leeren Baum, bezeichnet als   enthalten die durch das Pfadende   führenden Pfade einen schwarzen Knoten weniger als vorher, somit einen weniger als die nicht durch   führenden Pfade (sofern es diese gibt) – in Verletzung der Forderung S#=.

Der Knoten   war nicht die Wurzel und, da er schwarz war, hatte er ein Geschwister, das (nicht-d)-Kind[Anm. 5] von   Es ist nunmehr das Geschwister von   und sei mit   (wie englisch sibling) bezeichnet. Das d-Kind   (wie englisch close) von   ist der „nahe“ Neffe von   mit derselben Kindesrichtung; das andere Kind   (wie englisch distant) der „ferne“ Neffe.

Im nachfolgenden Beispielcode ist angenommen, dass eine vorausgehende Suchfunktion, die den zu löschenden Knoten   lokalisiert hat, den Stapel struct node* Parents[] von dessen Vorfahren gebildet[11] und dessen Zeiger an die Löschfunktion übergeben hat. Ist   die Wurzel, dann zeigt der ebenfalls übergebene Zeiger struct node** pParent vor diesen Stapel (pParent < &Parents[0]). Andernfalls zeigt er in diesem Stapel auf den Zeiger zum direkten Elter des zu löschenden Knotens, und es ist pParent&Parents[0] sowie Parents[0] gleich dem Zeiger auf den Wurzelknoten.

Der Kopf einer Funktion RBdelete2 zum Löschen eines schwarzen Knotens   ohne Kind könnte dann wie folgt aussehen:[Anm. 6]

 void RBdelete2(
   RBtree* T,                // -> Rot-Schwarz-Baum
   struct node*   Parents[], // Liste der -> Vorfahren
   struct node** pParent,    // ->-> Elterknoten von R
   struct node* R)           // -> zu löschender Knoten, hier: schwarz
  {
   byte d;                   // Richtung ∈ {LEFT, RIGHT}
   struct node* N = NULL;    // -> Problemknoten (zunächst NULL)
   struct node* P;           // -> Elterknoten von R
   struct node* S;           // -> Geschwisterknoten von N
   struct node* C;           // -> naher  Neffe
   struct node* D;           // -> ferner Neffe

   // R ist nicht die Wurzel, also ist
   //   pParent >= &Parents[0]).
   P = *pParent; // Elter von R
   d = (R == P->right); // Kindesrichtung von R
   // Ersetze R bei seinem Elter P durch NULL:
   P->child[d] = N;
   goto Start_L;        // Sprung in die Schleife

Löschen: Die Schleife zur Überprüfung und Reparatur des Baums steigt vom Problemknoten, d. i. zunächst das Pfadende  , zur Wurzel auf. Ihre Invariante ist:

  • Die Anzahl der schwarzen Knoten auf den Pfaden, die nicht durch den Problemknoten führen, ist ungeändert, und die Pfade durch den Problemknoten enthalten einen schwarzen Knoten weniger (sog. „Schwarz-Verletzung“, englisch black violation) – daher der Name „Problemknoten“.
  • In der ersten Iterationsstufe ist der Problemknoten leer (sein Zeigerwert N == NULL). Dieses Pfadende mit der Schwarz-Verletzung wird in den Darstellungen der ersten Iterationsstufe durch einen blauen Pfeil nach links   symbolisiert.
    In den höheren Iterationsstufen ist   ein echter schwarzer Knoten (als Problemknoten dargestellt mit blauer Kontur).
  • Die Forderung !RR („Nicht Rot Rot“) ist überall erfüllt.

Die Zusammenschau bringt die Diagramme in einer auf die Farbkonstellation zugespitzten Form.

Bedingung Fall
Rota-
tion
Zuwei-
sung
Ergebnis
Test
 
               
L0
        L1  :=  ? ? ? ? L0 1
        L2     :=    ?   ? L3 0
        L3        
        L4     :=        L5 0
      L5         
Löschen: Zusammenschau der Fälle

Löschen: Zusammenschau der Fälle[18][19]

Die möglichen Farbkonstellationen lassen sich in sechs Fälle gruppieren, zu denen es Transformationen (enthaltend Rotation und/oder Umfärbung) gibt, die entweder auf der betrachteten Ebene oder über weitere Iterationsschritte auf höheren Ebenen zu einer Rebalancierung des Baumes führen.

In der nebenstehenden Tabelle wird ein Fall durch eine Zeile repräsentiert, die

  • die Bedingung, das ist die Konstellation, die den Fall definiert,
  • die Fallnummer,
  • die Konstellation nach Transformation und ggf. Zuweisung in der Spaltengruppe Ergebnis

enthält. Eine Konstellation (4 Spalten) besteht aus den Farben der 4 Knoten   Eine Zelle ist leer gelassen, wenn es auf die Angabe nicht ankommt.

Die Konstellationen in der Gruppe Bedingung genügen der Schleifeninvariante, und ihre logische Summe schöpft diese zu 100 % aus. Sie sind im mit „vorher“ beschrifteten Abschnitt im zum Fall gehörigen Diagramm nochmals als Teilbaum skizziert.

Die Transformation, deren Fallnummer in der Spalte Fall verlinkt ist, transformiert die Eingabe in eine Konstellation, die im mit „transformiert“ beschrifteten Abschnitt des Diagramms des Falles dargestellt ist. Steht ein Häkchen „✓“ in der Spalte Test, dann reflektiert die Gruppe Ergebnis den Endstand, und die Löschoperation ist durch die Transformation abgeschlossen. Andernfalls steht dort die Fallnummer derjenigen Bedingung, auf die die transformierte und neu zugewiesene Konstellation zu testen ist, wobei die entsprechende Zuweisung, angegeben in der Spalte Zuweisung für den Problemknoten   auch die Knoten   eindeutig bestimmt. Die Spaltengruppe Ergebnis und der mit „nachher“ beschriftete Abschnitt des Diagramms zeigt die Konstellation nach der Zuweisung; Fragezeichen stehen bei den Knoten, auf deren Farbe es in den nachfolgenden Tests ankommt.

Der Eintrag „L0“ kommt nur bei der Transformation_L1 vor und bedeutet einen neuen Iterationsschritt auf der um 1 höheren Ebene im Baum (gleichzeitig eine Schwarzebene  ), beginnend mit dem Test auf die Bedingung_L0. Danach sind die Schwarzhöhen aller Teilbäume ≥ 1. Die Anzahl der Ebenen stimmt mit der Höhe   überein, so dass höchstens   Iterationen vorkommen können. Nun ist der Aufwand für eine Iteration beschränkt (d. h. in  ) und damit der für die gesamte Löschoperation in   Gemäß § Durchschnittliche und amortisierte Laufzeit ist der Rebalancierungsaufwand im Mittel sogar konstant.

Bei einem Eintrag in der Spalte Rotation ist eine Rotation an der Transformation beteiligt. Und die Tabelle zeigt, dass bei einer Löschung maximal drei Rotationen (von Fall L2 über L4 zu L5) erforderlich sind. Denn nach einer Rotation kommt kein neuer Iterationsschritt – die Rotationen befinden sich endrekursiv am Ende der letzten Iteration.

Im folgenden Beispielcode bestimmt die Kindesrichtung (Variable d) von   sowohl die nachfolgenden Rotationsrichtungen wie die Kindesrichtung der Neffen   und   von  .[15]

   do // Beginn der (do while)-Schleife
    { // Bedingung_L0 trifft NICHT zu: pParent >= &Parents[0]:
     N = P; // neuer Problemknoten (kann die Wurzel sein)
     P = *pParent;
     d = (N == P->right); // Kindesrichtung von N
 Start_L:
     S = P->child[!d]; // Geschwister von N
     if (S->color == RED)
       goto Fall_L2; // Bedingung_L2: S rot ===> P+C+D schwarz
     // S ist schwarz:
     if (((D = S->child[!d]) != NULL) && (D->color == RED))
       goto Fall_L5; // der ferne Neffe D ist rot
     if (((C = S->child[ d]) != NULL) && (C->color == RED))
       goto Fall_L4; // der nahe  Neffe C ist rot
     // Beide Neffen sind == NULL (erste Iteration) oder schwarz (später).
     if (P->color == RED)
       goto Fall_L3; // P rot && C+S+D schwarz <==> Bedingung_L3

Die Diagramme bei den Fällen zeigen nur eine Kindesrichtung, und zwar ist bei der Operation Löschen der Problemknoten   immer links von   gezeichnet.

Jeder Fall wird unter seiner Fallnummer erläutert und einschließlich Test (auf die ihn charakterisierende Bedingung) und Transformation durch ein Stück C-Code genau beschrieben.[16][Anm. 3]

 
Iterationstufe  


Löschen Fall L1: Der Elter   des Problemknotens   und das Geschwister   sind schwarz, ebenso die Kinder   und   von   falls sie existieren.

Die Umfärbung des Knotens   von schwarz in rot vermindert in allen Pfaden, die durch   führen, die Zahl   der schwarzen Knoten um 1 auf  . Das betrifft genau die Pfade, die durch   aber nicht durch   führen, welch letztere Pfade vorher schon genau   schwarze Knoten enthalten haben. Damit sind es   schwarze Knoten in den Pfaden, die durch   führen, und   in denen, die nicht durch   führen – wenn es denn solche noch gibt. Somit wird die erste Bedingung der Schleifeninvariante mit nunmehr   als Problemknoten erfüllt.

     // Bedingung_L1: P+C+S+D schwarz
     // Transformation_L1:
     S->color = RED;
     // Fortsetzung der Überprüfung des Baums
     //   eine Ebene höher durch Testen auf die
     // Bedingung_L0:
    } while (--pParent >= &Parents[0]);
    // Ende der (do while)-Schleife.

Löschen Fall L0: Der Problemknoten (hier:  ) ist die Wurzel.

In diesem Fall ist man fertig, da überhaupt alle Pfade durch   führen (und somit alle Pfade einen schwarzen Knoten weniger enthalten als vorher). Die Schwarzhöhe des Baumes verringert sich also um 1.

   // Bedingung_L0: pParent < &Parents[0]
   //               ===> P ist die alte und neue Wurzel des Baums T.
   return; // Löschung fertiggestellt
 
Iterationstufe  


Löschen Fall L2: Das Geschwister   des Problemknotens   ist rot.

Eine Rotation um  [Anm. 7] macht   zum Großelter von   und zwar eine Linksrotation, wenn   linkes Kind (d. h. d == LEFT) ist, sonst eine Rechtsrotation. (Im Folgenden wird eine solche Rotation als d-Rotation bezeichnet.) Danach invertiert man die Farben von   und   Alle Pfade haben weiterhin dieselbe Anzahl an schwarzen Knoten, aber   hat nun ein schwarzes Geschwister,   und einen roten Elter,   weswegen man nun zu Fall L3, L4 oder L5 weitergehen kann – mit   als altem und neuem Problemknoten.[Anm. 3]

 Fall_L2:
   // Bedingung_L2: S rot && P+C+D schwarz
   // Transformation_L2:
   S->color = BLACK;
   P->color = RED;
   C = S->child[d];  // aufbewahren
   // rotate(P,d);   // d-Rotation um Knoten P:
   P->child[!d] = C; // neuer Elter von C
   S->child[d] = P;
   if (--pParent >= &Parents[0])
    {
     // Ersetze P bei seinem Elter durch S:
     R = *pParent;
     R->child[P == R->right] = S;
    }
   else // P war die Wurzel
     T->root = S; // S ist die neue Wurzel
 
   // Neuzuweisung nach der Transformation:
   S = C; // neues Geschwister von N (schwarz)
   if (((D = S->child[!d]) != NULL) && (D->color == RED))
     goto Fall_L5; // der ferne Neffe D ist rot
   if (((C = S->child[ d]) != NULL) && (C->color == RED))
     goto Fall_L4; // der nahe  Neffe C ist rot
   // Beide Neffen sind == NULL (erste Iteration)
   //   oder schwarz (später).
   // Also P rot && C+S+D schwarz <==> Bedingung_L3.
   // Das ist Fall_L3:
 
Iterationstufe  


Löschen Fall L3: Der Elter   von   ist rot, aber sowohl das Geschwister   des Problemknotens   als auch dessen Kinder   und   sind schwarz, falls sie existieren.

Eine Invertierung der Farben von   und   lässt die Anzahl der schwarzen Knoten auf den Pfaden, die durch   laufen, unverändert, fügt aber auf allen Pfaden durch   einen schwarzen Knoten hinzu und gleicht damit den fehlenden schwarzen Knoten auf diesen Pfaden aus.

 Fall_L3:
   // Bedingung_L3: P rot && C+S+D schwarz
   // Transformation_L3:
   S->color = RED;
   P->color = BLACK;
   return; // Löschung fertiggestellt
 
Iterationstufe  


Löschen Fall L4: Das Geschwister   von   ist schwarz, der nahe Neffe   rot, während der ferne Neffe   falls er existiert, schwarz ist. Der im Diagramm rot-schwarz dargestellte Knoten   behält seine Farbe, rot oder schwarz.

Eine (nicht-d)-Rotation um  [Anm. 4] macht   zum Elter von   und zugleich zum Geschwister von   Danach invertiert man die Farben von   und   Dadurch werden die Pfade des Teilbaums   so verändert, dass sie durch einen roten Knoten weniger und die Pfade durch den Knoten   durch einen mehr führen. Die Zahl der schwarzen Knoten auf diesen Pfaden bleibt jedoch gleich. Ferner hat nun   ein schwarzes Geschwister,   dessen fernes Kind,   rot ist, womit man zum Fall L5 weitergehen kann. Weder   noch   noch die Schwarzhöhe werden durch diese Transformation beeinflusst.

 Fall_L4:
   // Bedingung_L4: S+D schwarz && C rot
   // Transformation_L4:
   // rotate(S,!d); // (nicht-d)-Rotation um Knoten S:
   S->child[d] = C->child[!d]; // neuer Elter für Teilbaum 3
   C->child[!d] = S;
     // dadurch wird S zum fernen Neffen von N
   P->child[!d] = C;
   C->color = BLACK;
   S->color = RED;
 
   // Neuzuweisung nach der Transformation:
   D = S; // neuer ferner Neffe
   S = C; // naher Neffe wird neues Geschwister von N
   // Weiter zu Fall_L5:
 
Iterationstufe  


Löschen Fall L5: Die Farbe des Elters   ist beliebig. Das Geschwister   von   ist schwarz, und der ferne Neffe   von   ist rot.

Eine d-Rotation um  [Anm. 4] macht   zum Großelter von   Nun reicht es,   die Farbe von   zu geben und   sowie   schwarz zu färben.   hat immer noch dieselbe Farbe, wodurch die Forderung !RR erfüllt bleibt. Aber   hat nun einen zusätzlichen schwarzen Vorfahren: Falls   vor der Transformation noch nicht schwarz war, so ist er nach der Transformation schwarz, und falls   schon schwarz war, so hat   nun   als schwarzen Großelter, weswegen die Pfade, die durch   führen, nun einen zusätzlichen schwarzen Knoten passieren.

Bei den Pfaden, die sich ändern und die nicht durch   führen, gibt es zwei Möglichkeiten:

  1. Der Pfad führt durch die beliebig eingefärbte Wurzel des Teilbaums  , der zum neuen Geschwister von   wird. Dann muss der Pfad sowohl vor als auch nach der Transformation durch   und   führen. Da die beiden Knoten aber nur ihre Farben vertauscht haben, ändert sich an der Anzahl der schwarzen Knoten auf dem Pfad nichts.
  2. Der Pfad führt durch den neuen Onkel   von   welcher das (nicht-d)-Kind des Geschwisters   ist. In diesem Fall führte der Pfad vorher durch   und  . Nach der Transformation führt er aber nur noch durch   der von Rot auf Schwarz (die vorige Farbe von  ) umgefärbt wurde, und den Knoten   welcher die Farbe von   angenommen hat. Somit ändert sich die Anzahl der schwarzen Knoten eines solchen Pfades nicht.

Da die Anzahl der schwarzen Knoten in den Pfaden, die durch   führen, sich um 1 erhöht, und in denen, die nicht durch   führen, sich nicht ändert, ist die Forderung S#= wiederhergestellt.

 Fall_L5:
   // Bedingung_L5: S schwarz && D rot
   // Transformation_L5:
   // rotate(P,d); // d-Rotation um Knoten P:
   P->child[!d] = S->child[d];    // neuer Elter für Teilbaum 3
   S->child[d] = P;
   if (--pParent >= &Parents[0])  // P war nicht die Wurzel
    {
     // Ersetze P bei seinem Elter durch S:
     N = *pParent;
     N->child[P == N->right] = S;
    }
   else
     T->root = S; // S ist die neue Wurzel
 
   S->color = P->color;
   P->color = BLACK;
   S->child[!d]->color = BLACK; // im Diagramm: D
   return; // Löschung fertiggestellt
  } // Ende RBdelete2

Operationen mit ganzen Rot-Schwarz-BäumenBearbeiten

Die folgenden zwei Operationen haben ganze Rot-Schwarz-Bäume als Ein- und Ausgabeoperanden. Sie gehören nicht zum Standardsatz und fehlen in manchen Implementierungen. Es soll aber hier gezeigt werden, dass auch sie mit logarithmischem Aufwand durchgeführt werden können.

Verketten (Join)Bearbeiten

 
Verkettung von 2 Rot-Schwarz-Bäumen

Die Operation JOIN(TL,k,TR) verkettet (konkateniert) (englisch: join oder concat) zwei Rot-Schwarz-Bäume über einen Einzelschlüssel mit logarithmischem Aufwand.[20] Für die Sortierfolge müssen natürlich alle Schlüssel des ersten Baums TL dem Einzelschlüssel k und dieser allen Schlüsseln des zweiten TR vorangehen.[21] Die In-Order-Traversierung des verketteten Baums entspricht der Nacheinanderausführung der Traversierung des ersten Baums, gefolgt von der des einzelnen Knotens, gefolgt von der des zweiten Baums.

Skizze des Algorithmus:
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei der erste Baum nicht niedriger als der zweite, und der zweite habe eine schwarze Wurzel (Knoten   in der Abbildung) der Schwarzhöhe  . Ferner sei dem zweiten Baum sein erstes Element   bereits entnommen. Es spielt nachher die Rolle eines „Bindeglieds“.
Man steigt an der rechten Flanke des ersten Baums bis zu einem schwarzen Knoten der Schwarzhöhe   hinunter, sein Name sei  . Der Knoten   wird rot gefärbt und zum rechten Kind des Elters   von   gemacht. Ist   schwarz, dann ist der verkettete Baum in Rot-Schwarz-Form und die Verkettung abgeschlossen. Ist   jedoch rot, dann ist sein linkes Kind schwarz. Nun lässt sich eine Reparaturschleife anschließen, die zur Wurzel aufsteigend dieselbe Schleifeninvariante hat wie die Operation Einfügen, und   ist der Problemknoten der ersten Iterationsstufe.

MassenoperationenBearbeiten

Aufbauend auf der JOIN-Operation können weitere Massen- und Mengenoperationen gebildet werden,[22] die allesamt logarithmische Laufzeit haben, so z. B. die komplementäre Operation des Aufspaltens (englisch: split) eines Baums an einem Pfad.

Die Massenlöschung von allen Schlüsseln in einem zusammenhängenden Bereich (Intervall) kann durch zweimaliges Spalten und einmaliges Verketten geschehen oder, wenn das kleinste oder größte Element mit dabei ist, durch einmaliges Spalten. In ähnlicher Weise lässt sich ein Intervall mit logarithmischem Aufwand als Rot-Schwarz-Baum aus einem Rot-Schwarz-Baum herauspräparieren.

Eine Masseneinfügung kann durch einmaliges Spalten und zweimaliges Verketten durchgeführt werden, sofern die Menge als Rot-Schwarz-Baum vorbereitet ist und ihre Schlüssel in einem Intervall liegen, das im Zielbaum nicht vorkommt.

MengenoperationenBearbeiten

Im selben Aufsatz wurde gezeigt, dass auch die Mengenoperationen Durchschnitt, Vereinigung und Differenz von digital repräsentierten (endlichen) Mengen sehr effizient (in logarithmischer Zeit) und in „natürlicher“ Parallelität implementiert werden können (s. Binärer Suchbaum#Effiziente Massen- und Mengenoperationen aufbauend auf der JOIN-Operation). Blelloch et. al. zeigen, dass sich diese Algorithmen sich so auf die 4 balancierten Suchbäume (AVL-, Rot-Schwarz-, Splay- und BB[α]) übertragen lassen, dass sich alles Spezifische im JOIN-Algorithmus abspielt.

HöhenbeweisBearbeiten

Wie schon in der Einleitung ausgeführt, ist die besondere Eigenschaft von Rot-Schwarz-Bäumen, dass sie in logarithmischer Zeit – genauer in   mit   als der Anzahl der Schlüssel – ein Element im Baum suchen, löschen oder einfügen können. Diese Operationen sind auf allen binären Suchbäumen von der Höhe   des Baumes abhängig. Je niedriger die Höhe des Baumes ist, desto schneller laufen die Operationen. Kann man nun beweisen, dass ein binärer Suchbaum mit   Elementen nie eine gewisse Höhe (im Falle des Rot-Schwarz-Baumes  ) überschreitet, so hat man bewiesen, dass die oben genannten Operationen im schlechtesten Fall logarithmische Kosten haben, nämlich die genannten Kosten von   für einen Baum, in dem   Elemente gespeichert sind.

Rot-Schwarz-Bäume mit kleinster Knotenzahl zu gegebener Höhe

 
Rot-Schwarz-Bäume RBh der Höhen h=1,2,3,4,5,
jeweils mit minimaler Knotenzahl 1,2,4,6 resp. 10.

Zu   gibt es einen Rot-Schwarz-Baum der Höhe   mit

 

Knoten, und keinen mit weniger (  steht für die Gauß-Klammer).[Anm. 8]

Beweis

Damit ein Rot-Schwarz-Baum einer bestimmten Höhe   eine minimale Knotenzahl besitzt, muss er genau einen längsten Pfad enthalten, und dieser eine größtmögliche Anzahl roter Knoten, um eine möglichst große Baumhöhe mit möglichst kleiner Schwarzhöhe zu erreichen. Seine Einfärbung hat also unten beim Blatt mit Rot zu beginnen, und sich in der Folge nach oben bis zur Wurzel mit Schwarz und Rot streng abwechselnd fortzusetzen. Außerhalb dieses die Baumhöhe definierenden Pfades hat er nur schwarze Knoten.[23] Denn angenommen, es gäbe dort einen roten Knoten, dann beeinträchtigt das Entfernen desselben die Rot-Schwarz-Eigenschaften nicht, sofern einer von seinen zwei (schwarzen) Kindknoten an seine Stelle nachrückt und der andere gleichzeitig einschließlich seines Teilbaums entfernt wird. Alle Teilbäume außerhalb des längsten Pfades sind somit vollständige Binärbäume mit ausschließlich schwarzen Knoten.

Es gibt genau einen Rot-Schwarz-Baum der Höhe   mit einem roten Blatt, welches gleichzeitig die Wurzel ist. Also ist   in Übereinstimmung mit  

Bei einem Minimalbaum (RBh in der Abbildung) der Höhe   sind die zwei Kindbäume der Wurzel von unterschiedlicher Höhe: der höhere enthält den die Höhe definierenden längsten Pfad und ist ein Minimalbaum der Höhe   mit   Knoten und der Schwarzhöhe  ; der niedrigere ist ein vollständiger Binärbaum mit Höhe = Schwarzhöhe   hat also   Knoten. Damit ist rekursiv

             
(großer Kindbaum) (Wurzel) (kleiner Kindbaum)
woraus man
         
   

ausrechnet.  ■

Der Graph der Funktion   ist konvex nach unten und stückweise linear mit den Ecken an den Punkten   mit   Ferner ist   A027383(h–1) für   mit der Folge A027383 in OEIS.

Zur Höhe   gibt es   Formen von Minimalbäumen, da die Position des längsten Pfades der Position eines externen Blattes des vollständigen Binärbaums der Höhe   entspricht und dadurch auch die Lage der Knoten außerhalb dieses Pfades bestimmt ist. (Die Abbildung zeigt die äußerste linke Position.)

Umformung

Wegen   (eine Folge von  ) haben wir für ungerades   die Ungleichung

 

so dass sich für alle (geraden wie ungeraden)  

 

ergibt.

Da   die kleinste Knotenzahl   für alle Rot-Schwarz-Bäume der Höhe   ist, gilt:

 

Bringt man nun noch den Summanden –2 auf die rechte Seite und logarithmiert, so folgt:

 

Somit folgt die Behauptung, dass ein Rot-Schwarz-Baum eine maximale Höhe   von   hat und damit die Operationen suchen, einfügen und löschen in logarithmischer Zeit erledigen kann. Drückt man dieses Ergebnis in der O-Notation aus, so ergibt sich für die Kosten der oben genannten Operationen, dass sie alle in   liegen mit   als der Zahl der Schlüssel.[Anm. 9]

Durchschnittliche und amortisierte LaufzeitBearbeiten

Der Rot-Schwarz-Baum bietet amortisiert konstante Rebalancierungskosten[24] und damit auch im Mittel konstante.

Anwendungen von (binären) Suchbäumen, die neben Sequenzen von Einfügungen und Löschungen auch Suchoperationen enthalten, sind asymptotisch durch die logarithmische Laufzeit der letzteren dominiert. Interessant ist der amortisiert konstante Modifikations-Aufwand jedoch, wenn der Suchbaum persistent gehalten werden soll, d. h. alle Versionen zugänglich bleiben sollen (s. a. en:Persistent data structure).[8][25]

Anzahlen von Rot-Schwarz-BäumenBearbeiten

Die Folge A001131  in OEIS gibt in Abhängigkeit von der Knotenzahl   die Gesamtzahl der Rot-Schwarz-Bäume, Folge A001137 in OEIS derer mit schwarzer Wurzel und Folge A001138 in OEIS derer mit roter Wurzel.

 
Die 3 RB-Bäume mit 3 Schlüsseln

Die nebenstehende Abbildung zeigt den balancierten Binärbaum mit 3 Schlüsseln in 3 verschiedenen regelkonformen Rot-Schwarz-Einfärbungen. Beim Suchen und Traversieren ist wegen der identischen Verzweigungen der 3 Bäume alles Verhalten einschließlich Laufzeit gleich. Unterschiede gibt es aber bei Modifikationen, bspw. bei Einfügungen: Bei der linken Einfärbung sind alle Einfügungen vom Typ Transformation_E2 gefolgt von Transformation_E0, bei den rechten 2 Einfärbungen sind alle vom Typ Transformation_E1.

Zwar wird in einem reinen Einfügeszenario von den 3 möglichen Bäumen mit 3 Knoten (Schlüsseln) nur der eine Baum mit schwarzer Wurzel und 2 roten Kindern (der linke in der Abbildung) gebildet. Bezieht man jedoch Löschungen mit ein, dann kommen die zwei anderen Rot-Schwarz-Bäume (rechts in der Abbildung) hinzu,

und zwar der mit roter Wurzel über

4 Einfügungen und 1 Löschung


und der mit schwarzer Wurzel über

6 Einfügungen und 3 Löschungen

und dies mit den oben beschriebenen Algorithmen für Einfügung und Löschung – jeweils bei geeignet gewählter Schlüsselfolge, die durch den Knoten mit blauer Kontur angegeben ist.

Verwandtschaft mit 2-3-4-BäumenBearbeiten

 
2 Kinder
 
3 Kinder
 
3 Kinder
 
4 Kinder

Die 4 kleinen Grafiken links und rechts zeigen, wie kleine Bausteine eines Rot-Schwarz-Baums (linke Hälften der Grafiken) mit einem (dicken) Knoten eines 2-3-4-Baums (rechte Hälften der Grafiken) zur Entsprechung gebracht werden können. Man erzeugt aus einem Rot-Schwarz-Baum einen 2-3-4-Baum, indem man rote Kinder entsprechend ihrer Kindesrichtung links oder rechts als Datenelemente in den schwarzen Elterknoten hereinholt.[26][27]

 
Der Rot-Schwarz-Baum des Beispiels dargestellt als 2-3-4-Baum

Umgekehrt kann man einen 2-3-4-Baum ganz einfach in einen Rot-Schwarz-Baum überführen: Aus einem Knoten mit 2 Datenelementen und 3 Kindzeigern (wie der Knoten [NIL,1,6] in der Abbildung) wird ein schwarzer Knoten (Datenelement) mit 1 Kindzeiger und einem roten Kindknoten (Datenelement), der noch 2 Kindzeiger enthält; aus einem Knoten mit 3 Datenelementen und 4 Kindzeigern (wie die Knoten [8,13,17] und [22,25,27] in der Abbildung) wird ein schwarzer Knoten (Datenelement) mit 2 roten Kindknoten (jeweils 1 Datenelement und 2 Kindzeiger).

Darüber hinaus gibt es Entsprechungen bei den Modifikationsoperationen (Einfügen, Löschen) zwischen Farbwechsel und Rotationen auf Seite der Rot-Schwarz-Bäume und den Aktionen Spalten (englisch split) und Verschmelzen (englisch fuse) bei den 2-3-4-Bäumen.

Im Gegensatz zu 2-3-4-Bäumen muss man bei Rot-Schwarz-Bäumen nicht den „Füllzustand“ (Speicherausnutzung, englisch fill factor) der Knoten beobachten und verwalten, weshalb letztere als sehr effiziente Art der Implementierung der 2-3-4-Bäume gelten.[28]

Vergleich mit AVL-BaumBearbeiten

Die Menge der AVL-Bäume ist eine echte Teilmenge in der Menge der Rot-Schwarz-Bäume. Denn jeder Binärbaum, der das AVL-Kriterium erfüllt, lässt sich in einer das Rot-Schwarz-Kriterium erfüllenden Weise einfärben.[29][30]

 
Rot-Schwarz-, aber nicht AVL-Baum

Es gibt aber Rot-Schwarz-Bäume, die das AVL-Kriterium nicht erfüllen. Die nebenstehende Abbildung zeigt zum Beispiel einen Rot-Schwarz-Baum mit 6 Knoten und der externen Pfadlängensumme 21, während 20 die größte externe Pfadlängensumme bei AVL-Bäumen (und zugleich die kleinstmögliche für alle Binärbäume) dieser Knotenzahl ist. Konsequenterweise ist auch die Worst-Case-Höhe des AVL-Baums kleiner als die des Rot-Schwarz-Baums, und zwar asymptotisch um den Faktor (2 log2 Φ)−1 ≈ 0,720. Allgemein werden AVL-Bäume als besser balanciert und ihr Suchverhalten als günstiger angesehen.

Die Laufzeiten für alle angeführten Operationen unterscheiden sich im Mittel und im Worst Case asymptotisch nur um einen konstanten Faktor, gehören also derselben Komplexitätsklasse an. Der Rot-Schwarz-Baum bietet allerdings amortisiert konstante Einfüge- und Löschkosten (jeweils nur Rebalancierung – ohne Navigation). Beim AVL-Baum sind nur die Einfügekosten amortisiert, die Löschkosten immerhin im Mittel konstant.

Realistische Anwendungssituationen mit Performancedaten und -vergleichen – auch mit weiteren Suchalgorithmen und Spielarten der Datenstrukturen – finden sich bei Ben Pfaff. Seine Ergebnisse zeigen in 79 Messungen unter anderem die sehr große Ähnlichkeit von AVL-Bäumen (AVL) und Rot-Schwarz-Bäumen (RB) mit Laufzeitverhältnissen AVLRB zwischen 0,677 und 1,077 bei einem Median von ≈0,947 und einem geometrischen Mittelwert von ≈0,910.

Der Speicherplatzbedarf ist praktisch identisch: 1 Bit für das Rot-Schwarz-Attribut gegenüber 2 Bits[Anm. 10] für den AVL-Balance-Faktor. Während die Balance-Faktoren eines AVL-Baums direkt von seiner (graphentheoretischen) Gestalt abhängen, sind bei Rot-Schwarz-Bäumen derselben Gestalt – außer bei den Minimalbäumen gerader Höhe – unterschiedliche Einfärbungen möglich (s. § Anzahlen von Rot-Schwarz-Bäumen). Dabei wirken sich die Unterschiede der Einfärbungen nur auf die Modifikations- und nicht auf die Navigationsoperationen aus. Des Weiteren kann jede mögliche Gestalt eines AVL-Baums durch gezielte Einfügungen auch hergestellt werden. Bezogen auf die Baumform gilt dies auch für Rot-Schwarz-Bäume; es gibt aber Baumformen, bei denen durchaus regelkonforme Einfärbungen in einem reinen Einfügeszenario nicht bewirkt werden können.

Eine Folge dieser etwas größeren Freiheitsgrade ist, dass im Rot-Schwarz-Baum die für die Einfügung oder Löschung erforderlichen Farbänderungen und Rotationen schon während des Suchvorgangs – also beim Abstieg – vorgenommen werden können.[31] Diese „Top-Down-Strategie“[32] ist bspw. für nebenläufige und persistente Programmierung interessant.[Anm. 11][33]

So bleibt beim Einfügen der frisch eingefügte Knoten rot. Das bedeutet, dass eine zugehörige Suchfunktion im Abstieg den Baum entlang dem betroffenen Pfad (in logarithmischer Zeit) so vorbereiten kann, dass das endgültige Einfügen unmittelbar bei einem schwarzen Elter in Form eines roten Knotens geschehen oder eben (nach gfl. Inspektion des Elters) auch unterbleiben kann. Genauso kann beim Löschen eine (andere) Suchfunktion den Baum im Abstieg so vorbereiten, dass der zu löschende Knoten rot ist. In beiden Fällen bleibt der Baum sowohl beim Durchführen wie beim Unterlassen der Modifikation ein gültiger Rot-Schwarz-Baum, einer Modifikation, die beim Einfügen nur aus dem Setzen eines einzigen Zeigers besteht und beim Löschen nur geringfügig komplizierter ist. Demgegenüber gibt es beim AVL-Baum Baumformen, bei denen die Entscheidung betreffend den Vollzug der Modifikation nicht mit derart geringer Implikation offen gehalten werden kann.

Verwendung von Rot-Schwarz-BäumenBearbeiten

Im Java Development Kit sind die Klassen TreeSet[34] und TreeMap[35] als Rot-Schwarz-Bäume implementiert. Sie stellen geordnete Mengen bzw. geordnete Dictionarys zur Verfügung.

Weitere BäumeBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Rudolf Bayer: Symmetric Binary B-Trees. Data Structure and Maintenance Algorithms. In: Acta Informatica. 1, 1972, S. 290–306. doi:10.1007/BF00289509.
  2. Leo J. Guibas, Robert Sedgewick: A Dichromatic Framework for Balanced Trees. In: IEEE Computer Society (Hrsg.): Proceedings of the 19th Annual Symposium on Foundations of Computer Science. 1978, S. 8–21.
  3. Der Text folgt Ben Pfaff: An Introduction to Binary Search Trees and Balanced Trees. Zu anderen Varianten der Forderungen s. die Anmerkung NIL-Knoten.
  4. bei Ben Pfaff non-branching node
  5. Bei Ben Pfaff ist die Schwarzhöhe eines Knotens die einheitliche Anzahl schwarzer Knoten auf allen Pfaden zu den Pfadenden im von ihm gewurzelten Teilbaum.
  6. Mehlhorn 2008 S. 155 färbt die Kanten rot/schwarz und zählt als Schwarztiefe (englisch black depth) eines Knotens die Zahl der schwarzen Kanten von ihm zur Wurzel.
  7. a b Einige Autoren fordern noch, dass die Wurzel des Baums schwarz zu färben sei. Nicht jedoch z. B. Mehlhorn 2008 und Sedgewick. Tatsächlich ist diese Forderung ohne mathematische Bedeutung und stört die Rekursivität. Denn ist die Wurzel rot, so müssen ihre Kinder nach Forderung !RR schwarz sein, und bei ihrer Umfärbung in schwarz wird keine der anderen Forderungen verletzt. In den Algorithmen für Einfügung und Löschung kann man jedoch mit einer Fallunterscheidung weniger auskommen, wenn man bei einem roten Knoten immer einen Elterknoten voraussetzen kann.
  8. a b J. R. Driscoll, N. Sarnak, D. D. Sleator, R. E. Tarjan: Making Data Structures Persistent. In: Journal of Computer and System Sciences. Band 38, No. 1, 1989 (cs.cmu.edu)
  9. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein: Introduction to Algorithms. 2. Auflage. MIT Press, Cambridge (Massachusetts) 2001, ISBN 0-262-03293-7, S. 273.
  10. Dabei ist d == LEFT               Schlüssel von   < Schlüssel von  .
    S. a. Binärer Suchbaum#Suchen, wenn Duplikate zulässig.
  11. a b Die Implementierung kommt auf diese Weise (wie auch Ben Pfaff – zumindest konzeptionell) ohne einen bei den Knoten gespeicherten Elterzeiger aus.
    Zur Größe eines solchen Stapels s. Stapelgröße.
  12. Ben Pfaff bringt außer der Variante des Textes auch eine Variante mit einem ersten eingefügten Knoten schwarzer Farbe.
  13. Die Kurzschreibweise mit dem Pfeil -> ist erklärt im Artikel Verbund (Datentyp).
  14. Diese Aufteilung findet sich u. a. bei Ben Pfaff.
  15. a b Eine andere Möglichkeit ist, den Schleifenrumpf der do while-Schleife in zwei Versionen hinzuschreiben, in einer für die Kindesrichtung links und in einer für rechts (so bspw. Ben Pfaff).
  16. a b Für die Vorteile der iterativen Programmierung hinsichtlich Platz und Zeit gegenüber einer rekursiven Programmierung s. a. Binärer Suchbaum#Iterative Programmierung. Darüber hinaus erzwingt erstere eine genauere Beachtung der Knoteneigenschaften.
  17. Diese Vorgehensweise wurde zum ersten Mal von T. Hibbard in 1962 vorgeschlagen, zitiert nach Robert Sedgewick, Kevin Wayne: Algorithms Fourth Edition. Pearson Education, 2011, ISBN 978-0-321-57351-3, p. 410 (englisch, abgerufen am 25. März 2018)
  18. Die Aufteilung entspricht Roger Whitney.
  19. Auf eine andere Aufteilung (der Bedingungen) der Fälle, aber im Ergebnis ebenfalls auf die Gesamtzahl 6, kommt University of Science and Technology of China (zitiert nach stackoverflow.com).
  20. Robert Endre Tarjan: 4. Search Trees 5. Linking and Cutting Trees. In: SIAM (= Data structures and network algorithms). 1983, ISBN 978-0-89871-187-5, S. 45–70, doi:10.1137/1.9781611970265.ch5.
  21. Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming, Band 3, Sorting and Searching, 2. Auflage, Addison-Wesley, 1998, S. 474
  22. Guy Edward Blelloch, Daniel Ferizovic, Yihan Sun: Just Join for Parallel Ordered Sets. Hrsg.: ACM (= Symposium on Parallel Algorithms and Architectures, Proc. of 28th ACM Symp. Parallel Algorithms and Architectures (SPAA 2016)). 2016, ISBN 978-1-4503-4210-0, S. 253–264, doi:10.1145/2935764.2935768, arxiv:1602.02120..
  23. Sedgewick 2011 S. 444 Proof sketch
  24. Mehlhorn und Sanders widmen dem Thema in Mehlhorn 2008 das Kapitel „7.4 Amortized Analysis of Update Operations“ mit dem Theorem 7.3, S. 158:
    Consider an (a,b)-tree with b ≥ 2a that is initially empty. For any sequence of n insert or remove operations, the total number of split or fuse operations is O(n).
    In die Sprache der Rot-Schwarz-Bäume übersetzt heißt das:
    Für eine beliebige Folge von   Einfüge- und Löschoperationen in einen anfänglich leeren Rot-Schwarz-Baum ist die Anzahl der Farbwechsel und Rotationen in  
    Damit ist der Aufwand pro Operation in einer solchen Sequenz in   also amortisiert konstant. Im Beweis, der für (2,4)-Bäume geführt wird und bei dem die Account-Methode zum Zug kommt, werden nur die split- und fuse-Operationen abgerechnet – ein Aufsuchen der betroffenen Stelle im Baum wird überhaupt nicht erwähnt und auch nicht mitgezählt. Die Aussage bezieht sich also auf die reinen Reparaturkosten.
  25. Lightweight Java implementation of Persistent Red-Black Trees
  26. Mehlhorn 1988 S. 193
  27. Wenn man die zwei Wahlmöglichkeiten bei 3 Kindern auf eine (bspw. auf die erste, die obere) einschränkt, kommt man zu den LLRB (Abkürzung für englisch left-leaning red–black) Bäumen, die im Wesentlichen dieselben informationstheoretischen Eigenschaften haben, bei deren Implementierung aber laut Sedgewick weniger Fälle zu unterscheiden sind (s. Robert Sedgewick. Left-leaning Red–Black Trees und PDF).
  28. Mehlhorn 1988 S. 187
  29. Paul E. Black: Red-black tree. In: Dictionary of Algorithms and Data Structures. National Institute of Standards and Technology, 13. April 2015, abgerufen am 2. Juli 2016 (englisch).
  30. s. „One should be able to color any AVL tree, without restructuring or rotation, to transform it into a Red-Black tree.“ Junghyun Chae in AVL Trees vs. Red-Black Trees? abgerufen am 14. Oktober 2015 und Beweis in AVL-Baum#VergleichRB.
  31. Red Black Trees. Abgerufen am 14. Oktober 2015. (Eternally Confuzzled)
  32. Mehlhorn 1988 S. 197–198.
  33. s. a. Comparison of Binary Search Trees abgerufen am 14. Oktober 2015; oder Paul Callahan in AVL Trees vs. Red-Black Trees? abgerufen am 14. Oktober 2015
  34. Java Class TreeSet auf docs.oracle.com
  35. Java Class TreeMap auf docs.oracle.com

AnmerkungenBearbeiten

  1. Diese Abschätzung ist scharf (s. § Höhenbeweis) und für   wegen
     
    marginal genauer als
     .
  2. Werden nämlich die NIL-Knoten als minimale Rot-Schwarz-Knoten implementiert, so brauchen sie Speicher für zwei Kindzeiger, ggf. einen Elterzeiger, das Feld für die Farbe und ein Erkennungsfeld für die Eigenschaft »NIL-Knoten«. Bei   Schlüssel tragenden Knoten braucht man   NIL-Knoten, womit sich der Rot-Schwarz-Overhead mehr als verdoppelt. Die Verknüpfungen der NIL-Knoten mit den Schlüssel tragenden Knoten (bspw. bei den Rotationen) sind überdies zu pflegen, so dass sich auch die Laufzeit verlängert. Das bedeutet im Ergebnis einen erheblichen Aufwand für das Aufzeichnen und Pflegen von Informationen, die für die nachfolgenden Algorithmen nicht gebraucht werden oder sich unmittelbar aus den anderen Informationen ableiten lassen.
  3. a b c Man beachte die in der Programmiersprache C festgelegte Art der Auswertung der
      Disjunktion:       (X == NULL)
    || (X->color == BLACK)
    bzw. der
      Konjunktion:       (X != NULL)
    && (X->color == RED)

    die im Fall X == NULL die zweite Bedingung X->color == BLACK resp. X->color == RED nicht auswertet, sondern sofort zum else-Zweig verzweigt. Im Beispielcode sind die entsprechenden Zeilen gelb hinterlegt.
    Zusätzliche Bemerkung:
    Die Schwarzhöhe 0 kommt nur in der ersten Iterationsstufe der Reparaturschleife vor; bei den höheren Iterationsstufen ist die Schwarzhöhe aller besuchten Knoten positiv, somit auch (X != NULL) – und dieser Teil der Abfrage kann weggelassen werden.
    Weiß man andererseits, dass die Schwarzhöhe eines Knotens 0 ist, dann kann er, wenn er existiert nur rot sein. Wenn nun die erste Iteration aus der Schleife herausgezogen wird, dann kann sich die Abfrage dort auf (X != NULL) beschränken, wogegen bei den höheren Iterationsstufen nur auf color abgefragt werden muss.

  4. a b c d In der ersten Iterationsstufe ist der Teilbaum   leer. Wenn die Knoten mit Elterzeiger implementiert werden, dann ist nach der Rotation der Elterzeiger dieses Teilbaums bei allen Iterationsstufen außer der ersten anzupassen.
  5. Wegen der Gleichsetzungen LEFT ≡ 0 und RIGHT ≡ 1 spiegelt die logische Negation
    nicht-d   ≡   !d   ≡   (1−d)
    die Richtung LEFT   RIGHT. Dabei ist d = (N == P->right) die Kindesrichtung von N.
    Im Kontext der Farben spricht man bei Zuweisungen à la RED :≡ !BLACK und BLACK :≡ !RED von „Invertierung“.
  6. Um der Kürze der Aufschreibung willen wird im Beispielcode einige Male goto verwendet. Es ist leicht, dies durch Verdoppelung des Codes zu vermeiden.
  7. Wenn die Knoten mit Elterzeiger implementiert werden, dann ist der Elterzeiger des Knotens   in allen Iterationen anzupassen, da die Schwarzhöhe von   auch in der ersten Iteration ≥ 1 ist.
  8. Diese Minimalbäume spielen bei den Rot-Schwarz-Bäumen eine ähnliche Rolle wie die Fibonacci-Bäume bei den AVL-Bäumen.
  9. Als eine Datenstruktur, die im homogenen Arbeitsspeicher (Hauptspeicher) untergebracht ist, ist der Rot-Schwarz-Baum durch dessen Größe beschränkt, also auch die Höhe des Baums und die Längen der Pfade von Blatt zu Wurzel. Der Programmierer wird seinen Anwendern gegenüber eher die Knotenzahl einschränken als die Baumhöhe, die für den Anwender eher zufälliger Natur ist und ihn normalerweise nicht interessiert.
    Die folgende Tabelle gibt zu jeder Knotenzahl   eine Höhenangabe   zurück, die von einem Rot-Schwarz-Baum mit   Elementen nicht überschritten wird. Gängig sind Hauptspeicher mit 32 Bit und 64 Bit breiten virtuellen 8-Bit-Byte-Adressen. Da in einem 32-Bit-Adressraum maximal   Bytes untergebracht werden können und ein Knoten mindestens 2 Kind-Zeiger à je 4 Bytes benötigt, kann bei Benutzerdaten (Schlüssel + Wert) von   Bytes pro Knoten ein Baum mit maximal   Knoten untergebracht werden; bei   sind das   Wie die Tabelle zeigt, kann im 32-Bit-Adressraum die Höhe   durch einen Rot-Schwarz-Baum unmöglich überschritten werden.
    Für einen Adressraum mit 8 Byte breiten Adressen und   Byte Benutzerdaten hat man    so dass   bleibt und beim Einsatz von   Bytes für den Elter-Stapel dieser nicht überlaufen kann.
    Umfang von Rot-Schwarz-Bäumen
    Anzahl Knoten   Baumhöhe   Nutzlänge  
    32-Bit-Adressen
    33554429 47 120
    50331645 48 77
    67108861 49 56
    100663293 50 34
    134217725 51 24
    201326589 52 13
    268435453 53 8
    402653181 54 2
    536870909 55 0
    64-Bit-Adressen
    72057594037927933 109 240
    108086391056891901 110 154
    144115188075855869 111 112
    216172782113783805 112 69
    288230376151711741 113 48
    432345564227567613 114 26
    576460752303423485 115 16
    864691128455135229 116 5
    1152921504606846973 117 0

    Mit den Bezeichnungen im Text ist   eine Maßgabe, die so knapp wie möglich unterhalb der Knotenzahl des nächstgrößeren Minimalbaums bleibt. Ist der Speicherbedarf für alle Knoten gleich, können die Benutzerdaten pro Knoten maximal

        im 32-Bit-Adressraum (4 Bytes/Adresse)
      im 64-Bit-Adressraum (8 Bytes/Adresse)

    Bytes umfassen.

    Fazit

    Ist der Stapelspeicher struct node* Parents[] für die Elter-Zeiger bei einem 32-Bit-Adressraum auf wenigstens   Einträge mit insgesamt   Bytes ausgelegt, so kann er unmöglich überlaufen.
    Dasselbe gilt bei einem 64-Bit-Adressraum für   und einem Elter-Stapel der Größe   Bytes.
    Bevor nämlich in beiden Fällen der Elter-Stapel überläuft, ist der Adressraum schon geplatzt.
    Ben Pfaff hat #define RB_MAX_HEIGHT 128.

  10. oder auch nur 1 Bit (s. AVL-Implementierung)
  11. Die Sperren, die bei einem der Veränderung unterworfenen Baum der Erhaltung seiner Konsistenz dienen, können bei der Top-Down-Strategie von der Wurzel beginnend zu den Blättern fortschreitend gesetzt werden. Halten sich alle den Baum bearbeitenden Prozesse an solche (und ggf. weitere) Protokolle, kann ein Deadlock vermieden werden.
Dieser Artikel wurde am 5. November 2005 in dieser Version in die Liste der lesenswerten Artikel aufgenommen.