Parallelogramm

Ein Parallelogramm (von altgriechisch παραλληλό-γραμμος paralleló-grammos „von zwei Parallelenpaaren begrenzt“) oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.

Parallelogramme sind spezielle Trapeze und zweidimensionale Parallelepipede. Rechteck, Raute (Rhombus) und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.

Eigenschaften

Ein nicht ausgeartetes Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

• Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm).
• Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
• Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
• Die Diagonalen halbieren einander.
• Es ist punktsymmetrisch (zweizählig drehsymmetrisch).

Für jedes Parallelogramm gilt:

• Jede Diagonale teilt es in zwei gleichsinnig kongruente Dreiecke.
• Das Zentrum der Symmetrie ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
• Der Satz von Thébault-Yaglom.

Alle Parallelogramme, die mindestens eine Symmetrieachse besitzen, sind Rechtecke oder Rauten.

Formelsammlung

Bezeichnungen am Parallelogramm

Formeln zum Parallelogramm
Seitenlängen	$a=c,\quad b=d$
Innenwinkel	$\alpha =\gamma ,\quad \beta =\delta ,\quad \alpha +\beta =180^{\circ }$
Flächeninhalt	$A=a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}=\left|\left|\,{\overrightarrow {AB}}\,\times \,{\overrightarrow {AD}}\,\right|\right|$ $A=a\cdot b\cdot \sin \alpha =a\cdot b\cdot \sin \beta ={\frac {e\cdot f\cdot \sin \theta }{2}}$ Über Transformation in Rechteck mit der Determinante: $A=\left|{\begin{matrix}a_{x}&&b_{x}\\a_{y}&&b_{y}\end{matrix}}\right|$
Höhe zu a	$h_{a}\,=\,b\cdot \sin \alpha$
Höhe zu b	$h_{b}=a\cdot \sin \beta$
Diagonalen (Kosinussatz)	${\begin{array}{ccl}f&=&{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}\\&=&{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\beta )}}\\e&=&{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\beta )}}\\&=&{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}\end{array}}$
Parallelogrammgleichung	$e^{2}+f^{2}=2\left(a^{2}+b^{2}\right)$

Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm

Vom großen Rechteck werden sechs Teilflächen abgezogen.

Animation zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms.
Der Flächeninhalt ist gleich dem Produkt der Länge einer Grundseite $b$ mit der zugehörigen Höhe $h$.

Die Fläche $A$ des nebenstehenden schwarzen Parallelogramms kann man erhalten, indem man von der Fläche des großen Rechtecks die sechs kleinen Flächen mit bunten Kanten abzieht. Wegen der Symmetrie und der Vertauschbarkeit der Multiplikation kann man auch vom großen Rechteck das Doppelte der drei kleinen Flächen unterhalb des Parallelogramms abziehen. Es ist also:

${\begin{array}{cccl}A&=&&(\color {YellowOrange}a_{x}\color {black}+\color {ForestGreen}b_{x}\color {black})(\color {red}a_{y}\color {black}+\color {blue}b_{y}\color {black})-2\cdot (\color {YellowOrange}a_{x}\color {red}a_{y}\color {black}/2+\color {ForestGreen}b_{x}\color {red}a_{y}\color {black}+\color {ForestGreen}b_{x}\color {blue}b_{y}\color {black}/2)\\&=&&\color {YellowOrange}a_{x}\color {red}a_{y}\color {black}+\color {YellowOrange}a_{x}\color {blue}b_{y}\color {black}+\color {ForestGreen}b_{x}\color {red}a_{y}\color {black}+\color {ForestGreen}b_{x}\color {blue}b_{y}\\&&\color {black}-&\color {YellowOrange}a_{x}\color {red}a_{y}\color {black}\quad \quad \quad -2\color {ForestGreen}b_{x}\color {red}a_{y}\color {black}-\color {ForestGreen}b_{x}\color {blue}b_{y}\\&=&&\quad \quad \quad \color {YellowOrange}a_{x}\color {blue}b_{y}\color {black}-\color {ForestGreen}b_{x}\color {red}a_{y}\end{array}}$

Konstruktion eines Parallelogramms

Ein Parallelogramm, bei dem die Seitenlängen $a$ und $b$ sowie die Höhe $h_{a}$ gegeben ist, ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Parallelogramm mit den gegebenen Seitenlängen $a$ und $b$ sowie der Höhe $h_{a}$. Für die Konstruktion des rechten Winkels ist der Punkt $E$ frei wählbar.
Animation am Ende mit einer Pause 10 s.

Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung auf $n$ Dimensionen ist das Parallelotop $P$, erklärt als die Menge $\{\alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}+\dotsb +\alpha _{n}p_{n}\mid 0\leq \alpha _{i}\leq 1\}$ sowie deren Parallelverschiebungen. Die $p_{i}$ sind dabei $n$ linear unabhängige Vektoren.

Verwendung in der Technik

Parallelogramme finden sich häufig in der Mechanik. Durch vier Gelenke kann eine bewegliche, parallelentreue Lagerung hergestellt werden, die sogenannte Parallelogrammführung. Beispiele:

• 

  Schaltparallelogramm einer Kettenschaltung

• 

  Parallel-Scheibenwischer

• 

  Hubarbeitsbühne

• 

  Pantograph

Literatur

• F. Wolff: Lehrbuch der Geometrie. Vierte verbesserte Auflage, Druck und Verlag von G. Reimer, Berlin 1845 (Online-Kopie).
• P. Kall: Lineare Algebra für Ökonomen. Springer Fachmedien, Wiesbaden 1984, ISBN 978-3-519-02356-2.
• Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.

Weblinks

 Commons: Parallelogramm – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Parallelogramm – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wiktionary: Rhomboid – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: Parallelogram. In: MathWorld (englisch).
• Flächen- und Umfangsberechnung von allgemeinen und speziellen Parallelogrammen. Abgerufen am 18. November 2016.
• Einführung in das Thema Parallelogramm. (PDF) Abgerufen am 18. November 2016.
• Parallelogramm und Raute. (Memento vom 19. November 2016 im Internet Archive; PDF) Abgerufen am 18. November 2016.