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Die Renormierungsgruppe (RG) beschreibt die Abhängigkeit bestimmter physikalischer Größen von der Längenskala. Ursprünglich ein Konzept der Quantenfeldtheorie, erstreckt sich sein Anwendungsbereich heutzutage auch auf die Festkörperphysik, Kontinuumsmechanik, Kosmologie und Nanotechnologie. Mit der RG im Zusammenhang stehen die Betafunktion und die Callan-Symanzik-Gleichungen.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Als Renormierung bezeichnet man verschiedene Rechentechniken, die es erlauben, bei einer Längenskala gemessene Größen auf bei einer anderen Längenskala gemessene Größen abzubilden. Mit diesen Rechentechniken beschreibt man typischerweise skaleninvariante selbstähnliche Systeme, wie z. B. Diffusionspfade oder Perkolationscluster. Die Renormierungsgruppe ist der wesentliche Schritt der Renormierung. Sie beschreibt Skaleninvarianz, Abweichungen davon sowie Übergänge zwischen verschiedenen Varianten der Skaleninvarianz.

Die betrachteten skaleninvarianten Systeme sind durchweg stochastischer Natur. In der Quantenfeldtheorie beruht dies auf Quantenfluktuationen, in der klassischen Physik meistens auf thermischen Fluktuationen. Eine Messgröße beim Diffusions-Beispiel wäre z. B. die Zahl der Diffusionsschritte, bis im Mittel ein Weg der Länge   zurückgelegt ist. Typisch für diese Messgröße ist, dass es sich dabei um eine Korrelationsfunktion handelt.

Die Bedeutung der Rechentechniken liegt darin, dass sie oft nach Schema anwendbar sind und Ergebnisse liefern wo andere Methoden nicht weiterführen. Beispielsweise liefert naive (regularisierte) Störungsrechnung in der Quantenfeldtheorie und bei kritischen Phänomenen eine divergente Störungsreihe, während die Renormierungsgruppe implizit Störungsrechnungsbeiträge aufsummiert und die Skaleninvarianz korrekt zum Ausdruck bringt. Im Detail beschreibt die Renormierungsgruppe die Änderung der Kopplungskonstanten bei einer Änderung der Längenskala.

Einfachster Zugang: Kadanoffs Blockspin-ModellBearbeiten

 
Kadanoffs Blockspin

Das Blockspin-Modell von Leo Kadanoff (1966) liefert den didaktisch einfachsten Zugang zur RG. Dazu betrachtet man ein zweidimensionales Gitter von Spin -Freiheitsgraden (das kann aber auch ein Modell für Gitter von Atomen mit ganz anderen Freiheitsgraden als Drehimpulsen sein) vom Typ des Isingmodells, das heißt, es wechselwirken nur unmittelbar benachbarte Spins miteinander mit einer Kopplungsstärke  . Das System werde durch eine Hamiltonfunktion   beschrieben und habe die mittlere Temperatur  .

Nun wird das Spin-Gitter in Blöcke von  - Quadraten aufgeteilt und es werden neue Blockvariable eingeführt, indem über die Zustandswerte im Block gemittelt wird. Häufig hat die neue Hamiltonfunktion die gleiche Struktur wie die alte, nur mit neuen Werten für   und  :    .

Dieser Vorgang wird nun wiederholt, das heißt man fasst wieder   der neuen Spin-Blockvariablen durch Mittelung zusammen (das wären dann jeweils 4 Spins oder 16 Spins aus dem Ausgangsmodell) usw. Das System wird also auf einer ständig vergröbernden Skala betrachtet. Ändern sich dabei die Parameter unter RG-Transformationen nicht mehr wesentlich, spricht man von einem Fixpunkt der RG.

Im konkreten Fall des Isingmodells, ursprünglich als Modell für magnetische Systeme eingeführt (mit einer Wechselwirkung, die bei parallelen Spins einen negativen Beitrag,  , zur Energie   liefert, bei anti-parallelen Spins einen positiven Beitrag  ), wirkt die durch die Temperatur   gekennzeichnete Wärmebewegung den Ordnungsbestrebungen der Wechselwirkung (durch   charakterisiert) entgegen. Hier (und häufig auch in ähnlichen Modellen) gibt es drei Arten von Fixpunkten der RG:

(a)   und  . Auf großen Skalen überwiegt die Ordnung, ferromagnetische Phase.

(b)   und  . Unordnung auf großen Skalen.

(c) Ein Punkt dazwischen mit   und  , bei dem eine Skalenänderung die Physik des Systems nicht verändert (Skaleninvarianz wie in fraktalen Strukturen), der Punkt ist ein Fixpunkt der RG. An diesem sogenannten kritischen Punkt findet ein Phasenübergang zwischen den beiden Phasen (a), (b) statt. Im Fall des Ferromagnetismus wird er Curie-Punkt genannt.

Elemente der RG-TheorieBearbeiten

Allgemein sei das System durch eine Funktion   der Zustandsvariablen   mit den Wechselwirkung beschreibenden Kopplungskonstanten   beschrieben. Je nach Anwendungsbereich kann das eine Verteilungsfunktion (statistische Mechanik), eine Wirkung, eine Hamiltonfunktion u. a. sein, sollte aber die Physik des Systems vollständig beschreiben.

Nun betrachten wir Block-Transformationen der Zustandsvariablen  , wobei die Anzahl der   kleiner als die der   ist. Man versucht nun   allein als Funktion der neuen Zustandsvariablen   zu schreiben. Ist dies allein durch eine Änderung der Parameter der Theorie   möglich, spricht man von einer renormierbaren Theorie.

Die meisten grundlegenden Theorien der Elementarteilchenphysik, wie Quantenelektrodynamik, Quantenchromodynamik, die elektroschwache Wechselwirkung, sind renormierbar (die Gravitation allerdings nicht). Auch in der Festkörperphysik und Kontinuumsphysik sind viele Theorien (näherungsweise) renormierbar (z. B. Supraleitung, Theorie der Turbulenz von Flüssigkeiten).

Die Änderung der Parameter erfolgt durch eine sogenannte Betafunktion  , die einen Fluss der RG (RG flow) im  -Raum erzeugt. Die Veränderung von   unter diesem Fluss wird mit dem Begriff gleitende Kopplungskonstante (running coupling constant) beschrieben. Man ist vor allem an den Fixpunkten des RG-Flusses interessiert, die Phasenübergänge zwischen den makroskopischen Phasen des Systems beschreiben.

Da bei den RG-Transformationen ständig Information verlorengeht, haben sie im Allgemeinen keine Inverse und bilden somit eigentlich auch keine Gruppen im mathematischen Sinn (sondern nur Halbgruppen). Der Name Renormierungsgruppe hat sich trotzdem eingebürgert.

Relevante und irrelevante Operatoren, UniversalitätsklassenBearbeiten

Man betrachte das Verhalten der Observablen   (in der Quantenmechanik durch Operatoren gegeben) unter einer RG-Transformation:

  • falls   bei Übergang zu größeren Skalen stets zunimmt, spricht man von relevanten Observablen
  • falls   bei Übergang zu größeren Skalen stets abnimmt, spricht man von irrelevanten Observablen und
  • falls keins von beidem zutrifft, spricht man von marginalen Observablen.

Für das makroskopische Verhalten sind nur relevante Operatoren wichtig, und in der Praxis stellt sich heraus, dass in typischen Systemen nach hinreichend vielen Renormierungsschritten nur ganz wenige Operatoren „übrig bleiben“, da nur sie relevant sind (obwohl man es oft mit unendlich vielen Operatoren zu tun hat, so ist auf mikroskopischer Basis typischerweise die Zahl der Observablen von der Größenordnung der Zahl der Moleküle in einem Mol).

Dies erklärt auch die erstaunliche Ähnlichkeit der kritischen Exponenten untereinander in den verschiedensten Systemen mit Phasenübergängen zweiter Ordnung, ob es sich nun um magnetische Systeme, Supraflüssigkeiten oder Legierungen handelt: werden die Systeme durch die gleiche Anzahl und die gleichen Typen (bezüglich des Skalierungsverhaltens) relevanter Observabler beschrieben, gehören sie zur selben Universalitätsklasse.

Diese quantitative und qualitative Begründung der Unterteilung des Phasenübergangsverhaltens in Universalitätsklassen war einer der Haupterfolge der RG.

Impulsraum-RGBearbeiten

In der praktischen Anwendung gibt es zwei Typen von RG: die RG im Ortsraum (Real Space RG), wie sie oben in Kadanoffs Blockspin-Bild diskutiert wurde, und die Impulsraum-RG, bei der das System in verschiedenen Wellenlängen bzw. Frequenzskalen betrachtet wird. Dabei wird meist eine Art Integration über die Moden hoher Frequenz bzw. kurzer Wellenlänge durchgeführt. In dieser Form wurde die RG ursprünglich in der Teilchenphysik angewandt. Da man meist von einer Störungstheorie um das System freier Teilchen ausgeht, funktioniert dies für stark korrelierte Systeme meist nicht mehr.

Ein Beispiel für die Anwendung der Impulsraum-RG ist die klassische Renormierung der Masse und Ladung der freien Teilchen in der QED. Eine nackte positive Ladung ist in dieser Theorie von einer Wolke von ständig aus dem Vakuum erzeugten und gleich wieder vernichteten Elektron-Positron Paaren umgeben. Da die Positronen von der Ladung abgestoßen, die Elektronen angezogen werden, wird die Ladung im Endeffekt abgeschirmt, und die Größe der beobachteten Ladung hängt davon ab, wie nah man ihr kommt (gleitende Kopplungskonstante), bzw. im fouriertransformierten Bild, auf welcher Impulsskala man sich bewegt.

Feldtheoretische Renormierungsgruppe, technische AspekteBearbeiten

Die am weitesten verbreitete Variante der Renormierungsgruppe hat ihren Ursprung in der Quantenfeldtheorie und ist ein Grundpfeiler der theoretischen Physik, mit vielen Anwendungen auch in anderen Bereichen. Der Ausgangspunkt dabei ist eine Lagrange-Funktion für eine Feldtheorie und das entsprechende Pfadintegral. Eine Anzahl von technischen Aspekten ergeben in Kombination eine große Vielfalt. Beispiele sind

  • Regularisierung. Eine Regularisierung ist erforderlich da Störungsreihenterme sonst divergieren. Die Vorstellung heute ist, dass es auch in der Quantenfeldtheorie faktisch so etwas wie einen Cutoff gibt, z. B. bei der Planck-Länge. In der Praxis ist i. d. R. dimensionelle Regularisierung das Mittel der Wahl.
  • Verschiedene Herleitungen. Multiplikative oder additive Renormierung.
  • Renormierungsbedingungen oder minimale Subtraktion.
  • Betrachtung nur des kritischen Punktes oder Berücksichtigung relevanter und irrelevanter Terme (Massenterme, externe Felder, Annäherung an den kritischen Punkt).
  • Unterschied zwischen Quantenfeldtheorie (Limes kleiner Wellenlängen) und Festkörperphysik (Limes großer Wellenlängen)
  • Skaleninvarianz bei der kritischen Dimension   oder unterhalb der kritischen Dimension. Entwicklung nach   oder numerische Rechnung direkt bei  .

Trotz der Vielfalt ist die Rechentechnik in ihrer Essenz immer dieselbe. Die wesentlichen technischen Punkte lassen sich am einfachsten Beispiel verstehen.

Die Essenz anhand eines BeispielsBearbeiten

Ausgangspunkt ist die Lagrangefunktion des  -Modells bei der kritischen Temperatur (ohne Massenterm   und ohne Magnetfeldterm  )

 

Als eine Summe von Monomen kann die Lagrangefunktion invariant unter einer Reskalierung der Felder, der Koordinaten, und der Kopplungskonstanten mit einem beliebigen Skalenfaktor  , sein. Hier ist das

 

Per Konvention wird als Reskalierungs-Exponent für die Koordinaten immer   verwendet. Die beiden Terme der Lagrangefunktion liefern damit zwei Gleichungen aus denen sich die Skalierungsexponenten   und   ergeben. Hierbei ist   mit (oberer) kritischer Dimension  . Zu beachten ist, dass die Kopplungskonstante   bei der kritischen Dimension dimensionslos ist.

Die Skaleninvarianz der Lagrangefunktion bei der kritischen Dimension   impliziert nicht direkt eine Skaleninvarianz der physikalischen Größen, denn diese bestimmen sich aus dem Pfadintegral mit der Lagrangefunktion im Exponenten. Damit das Pfadintegral einen Sinn ergibt ist eine Regularisierung erforderlich, womit implizit eine weitere Längenskala ins Spiel kommt. Das regularisierte Pfadintegral liefert die physikalischen Größen. Die naive Skaleninvarianz der Lagrangefunktion wird i. A. durch Fluktuationen zumindest modifiziert. Ein generischer Ausgangspunkt der Renormierungsgruppe ist die Annahme, dass die Skaleninvarianz in modifizierter Form asymptotisch bestehen bleibt, d. h. dass die 2- und 4-Punkt-Vertexfunktionen der effektiven Lagrangefunktion ebenfalls skaleninvariant sind, wenn auch mit modifizierten Skalenexponenten. Per Konvention schreibt man den Skalenexponenten von   in der Form  , wobei   auch als kritischer Exponent bezeichnet wird.

Durch "Entfernen" der nichttrivialen Anteile der Skalenexponenten von den Vertexfunktionen   und   mit einem Feld-Renormierungsfaktor   erhält man die "renormierten" Vertexfunktionen,

 

Der konstante Wellenvektor   ist aus Dimensionsgründen eingeführt. Die Vertexfunktion   hängt eigentlich von 3 Wellenvektoren ab, aber zum Zweck der Renormierung ist es ausreichend, eine symmetrische Situation zu betrachten, wo die drei Wellenvektoren von den Ecken eines Tetraeders zum Mittelpunkt zeigen und denselben Betrag haben (auch andere Konventionen sind möglich).

Die Störungsrechnung liefert für die Vertexfunktionen   und   Potenzreihen in der nicht renormierten dimensionslosen Kopplungskonstanten  . Diese Potenzreihen sind am kritischen Punkt, d. h. bei   divergent und zunächst nutzlos. Der nächste Schritt ist das Aufstellen der Normierungsbedingung

 

Daraus bestimmt sich im Prinzip der Faktor   als Potenzreihe in  . Der Clou der ganzen Aktion ist die Definition einer dimensionslosen renormierten Kopplungskonstanten

 

Diese dimensionslose renormierte Kopplungskonstante ändert sich als Funktion des Wellenvektors i. d. R. nur langsam, ist oft klein und strebt u. U. gegen einen Fixpunkt. Der Trick ist daher, die Potenzreihen in   zu Potenzreihen in   zu transformieren. D.h. man ermittelt die Umkehrfunktion  . Eine entscheidende Rolle spielt dann der Fluss

 

der renormierten Kopplungskonstanten bei Änderung der Längenskala bei konstantem  . Die Bedingung   liefert ggf. den Fixpunkt der renormierten Kopplungskonstanten  . Mit   und   kennt man dann natürlich auch die physikalischen Größen   und  .

AnmerkungenBearbeiten

  • Es ist keineswegs selbstverständlich, dass das beschriebene Rechenverfahren funktioniert. Eine Grundvoraussetzung ist die Skaleninvarianz der Lagrangefunktion bei der kritischen Dimension.
  • In der Festkörperphysik interessiert der Limes  , in der Quantenfeldtheorie der Limes  .
  • In der Quantenfeldtheorie interessiert der Fall  , d. h. der Limes  . In diesem Fall verschwinden die kritischen Exponenten, es verbleiben aber logarithmische Skalierungs-Faktoren.
  • Das Beispiel enthält einige willkürlich erscheinende Konventionen. Das kritische Verhalten ist davon unabhängig (Universalität).
  • Die feldtheoretische Renormierungsgruppe ermöglicht systematische Reihenentwicklungen nach den renormierten Kopplungskonstanten. Die Potenzreihen sind nur asymptotisch konvergent, aber bei kleinen Kopplungskonstanten ist das oft ausreichend.
  • Physikalische Größen lassen sich ggf. als Potenzreihe in   oder (numerisch) direkt bei gegebener Dimension erhalten (etwa für  ).
  • Weitere Felder oder z. B. ein Massenterm in der Lagrangefunktion erfordern weitere  -Faktoren.
  • Die Algebra vereinfacht sich wenn man in der Lagrangefunktion   durch   ersetzt mit  .

Funktionale RenormierungsgruppeBearbeiten

Eine funktionale Renormierungsgruppe (FRG) ist eine Methode zur Berechnung des effektiven Potentials einer Feldtheorie für eine variable Längenskala. Eine FRG berücksichtigt relevante, marginale und irrelevante Kopplungen. Eine exakte Bestimmung des effektiven Potentials ist damit allerdings i. d. R. genauso wenig möglich wie mit anderen Techniken. Jedoch erlaubt eine FRG verschiedenste Parametrisierungen und ist unabhängig von (nur asymptotisch konvergenten) Störungsreihen-Entwicklungen.

Es gibt mindestens drei FRG-Varianten, eine nach Art der Wilsonschen-Eliminations-Renormierungsgruppe (Wegner und Houghten), eine Variante mit variablem UV-Cutoff (Polchinski) und eine Variante mit einem Infrarot-Regulator (Wetterich). Am einfachsten zu handhaben ist die Variante mit IR-Regulator.

Für die FRG mit IR-Regulator lässt sich im Rahmen der Quantenfeldtheorie mit wenigen formalen Schritten eine kompakte Formel herleiten, die Ausgangspunkt für konkrete Anwendungen ist (Wetterich). Um die Schreibweise zu vereinfachen empfiehlt sich dabei die de-Witt-Schreibweise, wo das Feld   ein Vektor ist, dessen Index einen Punkt im Raum und ggf. auch einen Feldindex spezifiziert. Der erste Schritt besteht darin, zur Wirkung   einen Regulator-Term

 

hinzuzufügen, wo die Matrix   von einer Wellenvektor-Skala   abhängt (Beispiele weiter unten). Die erzeugende Funktion der zusammenhängenden Korrelationsfunktionen lautet dann

 

wo   ein externes Feld bezeichnet. Der Erwartungswert von   ist  , und die 2-Punkt Korrelationsfunktion ist gegeben durch

 

Die erzeugende Funktion der 1-Teilchen-irreduziblen Vertex-Funktionen   ist nach üblichem Schema die Legendre-Transformierte

 

Differenzieren nach der Wellenvektor-Skala   und Verwenden der Definition von   führt auf

 

Die Renormierungsgruppen-Differenzialgleichung folgt daraus als

 

wo   das effektive Potential ohne das künstliche   bezeichnet und der Propagator   ebenfalls in einer Form geschrieben ist, die den künstlichen Beitrag   explizit macht.   steht für die Spur einer Matrix.

Der Sinn und die Interpretation der FRG-Differentialgleichung ergeben sich mit der Wahl des Regulators  , d. h. des Propagators. Typische IR-Cutoff-Funktionen (ausgedrückt im  -Raum) sind   oder  . Diese Funktionen verschwinden schnell für   und erreichen für   den Wert  . Dies bedeutet, dass Freiheitsgrade mit kurzen Wellenlängen keine Änderung erfahren während Freiheitsgrade mit langen Wellenlängen eine endliche Masse erhalten und unterdrückt werden. Die FRG-Differentialgleichung beschreibt bei   was geschieht wenn man mehr und mehr Freiheitsgrade mit langen Wellenlängen hinzunimmt. Z. B. kann man auf diese Weise einen kritischen Punkt erreichen, bei dem beliebig lange Wellenlängen zu berücksichtigen sind.

Geschichte der RGBearbeiten

Skalierungsüberlegungen gibt es in der Physik schon seit dem Altertum und an prominenter Stelle z. B. bei Galilei. Die RG tauchte zum ersten Mal 1953 in der Behandlung der Renormierung in der Quantenelektrodynamik durch E. C. G. Stueckelberg und André Petermann sowie 1954 durch Murray Gell-Mann und Francis Low auf. Die Theorie wurde von den russischen Physikern N. N. Bogoljubow und D. V. Shirkov ausgebaut, die 1959 ein Lehrbuch darüber schrieben.

Ein wirkliches physikalisches Verständnis wurde jedoch erst durch die Arbeiten von Leo Kadanoff 1966 erreicht (Blockspin-Transformation), die dann vom Nobelpreisträger (1982) Kenneth Wilson 1971 erfolgreich für die Behandlung sog. kritischer Phänomene in der Umgebung von kontinuierlichen Phasenübergängen und ferner 1974 zur sukzessiv-konstruktiven Lösung des Kondo-Problems benutzt wurden. Er erhielt unter anderem für die erstgenannte Leistung 1982 den Nobelpreis. Auch die alte RG der Teilchenphysik wurde um 1970 von Curtis Callan und Kurt Symanzik neu formuliert. In der Teilchenphysik wurde hauptsächlich die Impulsraum-RG verwendet und ausgebaut. Sie fand auch weite Verwendung in der Festkörperphysik, war aber bei stark korrelierten Systemen nicht anwendbar. Hier war man ab den 1980er Jahren mit Ortsraum-RG-Verfahren erfolgreicher, wie der von Steven R. White (1992) eingeführten Dichtematrix-RG (density matrix RG, DMRG).

LiteraturBearbeiten

OriginalarbeitenBearbeiten

  • E. C. G. Stueckelberg und A. Petermann: La renormalisation des constants dans la theorie de quanta. In: Helvetica physica acta. Band 26, 1953 S. 499.
  • M. Gell-Mann und F. E. Low: Quantum Electrodynamics at small distances. In: Physical Review. Band 95, 1954, S. 1300. (Einführung des Konzepts durch Stueckelberg/Peterman und Gell-Mann/Low)
  • N. N. Bogoliubov und D. V. Shirkov: The theory of quantized fields. Interscience, 1959. (erste Lehrbuchbehandlung)
  • L. P. Kadanoff: Scaling laws for Ising models near  . In: Physics (Long Island City, N.Y.) Band 2, 1966, S. 263. (das Bild der Block-Spin Transformationen)
  • C. G. Callan: Broken scale invariance in scalar field theory. In: Physical Review D. Band 2, 1970, S. 1541. (Online)
  • K. Symanzik: Small distance behaviour in field theory and power counting. In: Communications in Mathematical Physics. Band 18, 1970, S. 227. (Online) (hier und in der vorgenannten Arbeit von Callan wird die RG im Impulsraum eingeführt)
  • K. G. Wilson: The renormalization group. Critical phenomena and the Kondo problem. In: Reviews of modern physics. Band 47, Nr. 4, 1975, S. 773. (Online) (erfolgreiche Anwendung der RG auf den Kondo-Effekt)
  • S. R. White: Density matrix formulation for quantum renormalization groups. In: Physical Review Letters. Band 69, 1992, S. 2863. (oft verwendete RG Variationsmethode)
  • Franz Wegner, Anthony Houghton: Renormalization Group Equations for Critical Phenomena. In: Physical Review A, Band 8, 1973, S. 401 (Functional Renormalization Group)
  • Joseph Polchinski: Renormalization and Effective Lagrangians. In: Nuclear Phys. B, Band 231, 1984 S. 269–295
  • Christof Wetterich: Exact evolution equation for the effective potential. In: Phys. Lett. B, Band 301, 1993 S. 90. Arxiv

ÜbersichtsartikelBearbeiten

  • K.G. Wilson: Die Renormierungsgruppe. In: Spektrum der Wissenschaft. Oktober 1979. (Online)
  • M.E. Fisher: The renormalization group in the theory of critical phenomena, In: Reviews of Modern Physics, 46, 597 (1974); Renormalization group theory: its basis and formulation in statistical physics. In: Reviews of Modern Physics 70, 653 (1998)
  • D. V. Shirkov: Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group. A mathematical introduction and historical overview with a stress on group theory and the application in high-energy physics. 1999. arXiv.org:hep-th/9909024 (Online)
  • B. Delamotte: A hint of renormalization. A pedestrian introduction to renormalization and the renormalization group. In: American Journal of Physics. Band 72, 2004, S. 170
  • H. J. Maris, L. P. Kadanoff: Teaching the renormalization group. A pedestrian introduction to the renormalization group as applied in condensed matter physics. In: American Journal of Physics. Band 46, Juni 1978, S. 652–657.
  • L.P. Kadanoff: Application of renormalization group techniques to quarks and strings. In: Reviews of Modern Physics 49, 267 (1977)
  • Karen Hallberg, Density matrix renormalization: A review of the method and its applications, published in David Senechal, Andre-Marie Tremblay and Claude Bourbonnais (eds.), Theoretical Methods for Strongly Correlated Electrons, CRM Series in Mathematical Physics, Springer, New York, 2003 (sowie Hallberg New Trends in Density Matrix Renormalization, Advances in Physics 2006); Hallberg, Ingo Peschel, Xiaoqun Wang, Matthias Kaulke (Herausgeber) Density Matrix Renormalization, Lecturenotes in Physics 1999; Ullrich Schollwöck: The density-matrix renormalization group. In: Reviews of Modern Physics, 77, 259 (2005), online hier: (Online)
  • Eleftherios Kirkinis: The Renormalization Group: A Perturbation Method for the Graduate Curriculum. In: SIAM Review. 54, Nr. 2, 2012, S. 374–388. doi:10.1137/080731967.
  • Ramamurti Shankar: Renormalization-group approach to interacting fermions. In: Reviews of Modern Physics. 66, 1994, S. 129. arxiv:cond-mat/9307009. doi:10.1103/RevModPhys.66.129. bibcode:1994RvMP...66..129S.

BücherBearbeiten

  • Daniel J. Amit: Field theory, the renormalization group, and critical phenomena. World Scientific 1984.
  • Shang-keng Ma: Modern theory of critical phenomena. Addison-Wesley, Frontiers in Physics 1982.
  • N. Goldenfeld: Lectures on phase transitions and the renormalization group. Addison-Wesley, 1993.
  • L. Ts. Adzhemyan, N. V. Antonov und A. N. Vasiliev: The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence. Gordon and Breach, 1999, ISBN 90-5699-145-0.
  • Gérard Toulouse, Pierre Pfeuty: Introduction to the Renormalization Group and to Critical Phenomena. Wiley 1977.
  • J. Zinn-Justin: Quantum Field Theory and Critical phenomena. Oxford 1990.
  • J. Zinn Justin: Renormalization and renormalization group. From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories. In: C. de Witt-Morette, J.-B. Zuber (Hrsg.): Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective. 15–26. Juni 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, S. 375–388 (1999). Online hier: PostScript.
  • Giovanni Gallavotti, G. Benfatto: Renormalization Group. Princeton University Press, 1995.

WeblinksBearbeiten