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Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten

Das Relativistische Additionstheorem für Geschwindigkeiten besagt, wie die Geschwindigkeit eines Objekts in einem bestimmten Bezugssystem zu bestimmen ist, wenn das Objekt sich mit einer Geschwindigkeit gegenüber einem zweiten Bezugssystem bewegt, das sich selber gegenüber dem ersten mit einer Geschwindigkeit bewegt. Sie können aus der Lorentztransformation für gegeneinander bewegte Inertialsysteme hergeleitet werden.

In der klassischen Mechanik werden Geschwindigkeiten vektoriell addiert () und haben daher keine obere Schranke. Da aber nach der speziellen Relativitätstheorie die Geschwindigkeit eines Objekts die Lichtgeschwindigkeit nicht überschreiten kann, können die klassischen Gleichungen nur eine Näherung sein. Unterschiede machen sich bemerkbar, wenn eine oder beide der zu addierenden Geschwindigkeiten nicht mehr vernachlässigbar klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit ist.

Das relativistische Additionstheorem für Geschwindigkeiten ist durch Messungen bestätigt worden.

DefinitionBearbeiten

 
Diagramm zur relativistischen Addition der gleichgerichteten Geschwindigkeiten   und  
jeweils ausgedrückt in Bruchteilen der Lichtgeschwindigkeit   (Erläuterungen s. Artikeltext).
Die Konturlinien zeigen die resultierende Geschwindigkeit   ebenfalls normiert auf  
(Abstufung geändert für  ).
Je größer die beiden Ausgangsgeschwindigkeiten, desto stärker weicht das Ergebnis von der arithmetischen Addition ab:
auch von der resultierenden Geschwindigkeit kann die Lichtgeschwindigkeit nicht überschritten werden.

Ein Beobachter   bewege sich gegenüber dem Beobachter   mit der Geschwindigkeit   in Richtung der  -Achse. Für den Beobachter   bewege sich ein Körper mit der Geschwindigkeit u'   Dann hat dieser Körper für den Beobachter   die Geschwindigkeit u mit den Komponenten

 
 
 

mit

 

Koordinatenfrei ausgedrückt: Die resultierende Geschwindigkeit   ergibt sich aus der einfachen Addition der Geschwindigkeiten ( ) mit folgenden Modifikationen:

  • Die Geschwindigkeit   ist um den Faktor   kleiner.
  • Die Komponenten der Geschwindigkeit   senkrecht zu   sind zusätzlich um den Faktor   kleiner.

InterpretationBearbeiten

Sind die beteiligten Geschwindigkeiten sehr klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit

 

so unterscheidet sich der Nenner (und auch der Term unter der Wurzel im Zähler) kaum von 1

 

und es ergibt sich in guter Näherung die übliche nichtrelativistische Geschwindigkeitsaddition:

 

Beispiel: in einem mit   fahrenden Zug   läuft eine Person mit   relativ zum Zug in Fahrtrichtung. Die von einem am Bahndamm stehenden Beobachter   gemessene Geschwindigkeit   der Person ist gerade mal um 0,17 nm/h langsamer als die bei einfacher Addition erhaltenen  . Zum Vergleich: der Durchmesser eines Atoms liegt in der Größenordnung von 0,1 nm. Das heißt, der „Zugläufer“ kommt in der Stunde knapp zwei Atomdurchmesser weniger weit, als man es bei nichtrelativistischer Rechnung erwarten würde – was bei einer zurückgelegten Strecke von 205 km sicher vernachlässigbar ist – ganz abgesehen von dem von Laien häufig übersehenen Gesetz der gültigen Ziffern.

Für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit ergeben sich jedoch deutliche Abweichungen von der nichtrelativistischen Additionsregel, vgl. die folgenden Beispiele.

FolgerungenBearbeiten

Als Folge des Additionstheorems kann auch durch Überlagerung zweier Geschwindigkeiten die Lichtgeschwindigkeit nicht übertroffen werden.

1. BeispielBearbeiten

Es seien

  und  

Dann ist

 

und nicht etwa 1,5c.

2. BeispielBearbeiten

Ist die Geschwindigkeit u' für den Beobachter   gleich der Lichtgeschwindigkeit, dann ist sie es auch für den Beobachter  

Sind zum Beispiel

 

Dann ergeben sich

 

Damit folgt

 

HerleitungBearbeiten

Um das Formelbild einfach zu halten, werden alle Geschwindigkeiten als Vielfache der Lichtgeschwindigkeit in natürlichen Einheiten angegeben. Dann haben Zeit und Länge dieselbe Maßeinheit und die dimensionslose Lichtgeschwindigkeit beträgt  

Aus der inversen Lorentz-Transformation (Ersatz von   durch - )

 

folgt für die Differentiale, da die Transformation linear ist,

 

Daher folgt für die Geschwindigkeiten, die der Beobachter   ermittelt,

 
 
 

Aufgelöst nach den gestrichenen Variablen ergeben sich folgende Beziehungen:

 

WeblinksBearbeiten

 Wikibooks: Spezielle Relativitätstheorie – Lern- und Lehrmaterialien