Rational elliptische Funktionen

mathematische Funktion
Darstellung der rational elliptischen Funktionen zwischen und für die Ordnungen 1, 2, 3 und 4 mit dem Selektivfaktor .

Die rational elliptischen Funktionen stellen in der Mathematik eine Reihe von rationalen Funktionen mit reellen Faktoren dar. Sie werden zum Entwurf von Übertragungsfunktionen bei Cauer-Filtern in der elektronischen Signalverarbeitung verwendet.

Eine bestimmte rational elliptische Funktion wird durch ihre Ordnung und einen reellen Selektivfaktor charakterisiert. Formal sind die rational elliptischen Funktionen mit dem Parameter definiert als:

,

wobei die Funktion eine abgeleitete jacobische elliptische Funktion darstellt, bestehend aus den cosinus amplitudinis und den delta amplitudinis. steht für das elliptische Integral erster Art und stellt einen Diskriminierungsfaktor dar, welcher für gleich dem kleinsten Betragswert von ist.

Ausdruck als rationale FunktionBearbeiten

Für Ordnungen in der Form  , mit   und   nichtnegativ ganzzahlig, können die rational elliptischen Funktionen durch analytische Funktionen ausgedrückt werden.

Für gerade Ordnung   können die rational elliptischen Funktionen in diesen Fällen als Quotient zweier Polynome, beide mit Ordnung  , ausgedrückt werden als:

       (  gerade)

mit den Nullstellen   und den Polstellen  . Der Faktor   wird so gewählt, dass   gilt.

Für ungerade Ordnung ergeben sich ein Pol bei   und eine Nullstelle bei  , womit rational elliptische Funktionen bei ungerader Ordnung in der Form

       (  ungerade)

ausgedrückt werden können.

Damit lassen sich die ersten Ordnungen der rational elliptischen Funktionen formulieren:

 
 , mit  .
 , mit  ,  ,  

Weitere Ordnungen lassen sich dann mittels niedriger Ordnungen mittels der Verschachtelungseigenschaft bilden:

 
 , keine rationale Funktion.
 

EigenschaftenBearbeiten

NormalisierungBearbeiten

Alle rational elliptischen Funktionen sind bei   auf   normiert:

 .

VerschachtelungBearbeiten

Bei der Eigenschaft der Verschachtelung gilt:

 .

Aus der Eigenschaft zur Verschachtelung folgt unmittelbar die obige Regel zur Angabe von bestimmten Ordnungen als rationale Funktion, da sich   und   als geschlossener analytischer Ausdruck angeben lassen. Damit lassen sich alle Ordnungen   in Form von analytischen Funktionen angeben.

GrenzwerteBearbeiten

Die Grenzwerte der rational elliptischen Funktionen für   lassen sich als Tschebyschow-Polynome erster Art   ausdrücken:

 .

SymmetrieBearbeiten

Es gilt allgemein:

  für gerade  ,
  für ungerades  .

WelligkeitBearbeiten

  hat eine einheitliche Welligkeit von   im Intervall  .

KehrwertBearbeiten

Es gilt allgemein

 .

Dies bedeutet, dass die Pole und Nullstellen paarweise auftreten müssen und der Beziehung

 

genügen müssen. Ungerade Ordnungen weisen somit eine Nullstelle bei   und eine Polstelle bei Unendlich auf.

QuellenBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. 2. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-49324-2.