Rational elliptische Funktionen

Die rational elliptischen Funktionen stellen in der Mathematik eine Reihe von rationalen Funktionen mit reellen Faktoren dar. Sie werden zum Entwurf von Übertragungsfunktionen bei Cauer-Filtern in der elektronischen Signalverarbeitung verwendet.

Darstellung der rational elliptischen Funktionen zwischen $x=-1$ und $x=1$ für die Ordnungen 1, 2, 3 und 4 mit dem Selektivfaktor $\xi =1{,}1$.

Eine bestimmte rational elliptische Funktion wird durch ihre Ordnung $n$ und einen reellen Selektivfaktor $\xi \geq 1$ charakterisiert. Formal sind die rational elliptischen Funktionen mit dem Parameter $x$ definiert als:

$R_{n}(\xi ,x)\equiv \mathrm {cd} \left(n{\frac {K(1/L_{n})}{K(1/\xi )}}\,\mathrm {cd} ^{-1}(x,1/\xi ),1/L_{n}\right)$,

wobei die Funktion $\operatorname {cd} (\cdot )$ eine abgeleitete jacobische elliptische Funktion darstellt, bestehend aus den cosinus amplitudinis und den delta amplitudinis. $K(\cdot )$ steht für das elliptische Integral erster Art und $L_{n}(\xi )=R_{n}(\xi ,\xi )$ stellt einen Diskriminierungsfaktor dar, welcher für $|x|\geq \xi$ gleich dem kleinsten Betragswert von $R_{n}(\xi ,x)$ ist.

Ausdruck als rationale Funktion

Für Ordnungen in der Form $n=2^{a}3^{b}$, mit $a$ und $b$ nichtnegativ ganzzahlig, können die rational elliptischen Funktionen durch analytische Funktionen ausgedrückt werden.

Für gerade Ordnung $n$ können die rational elliptischen Funktionen in diesen Fällen als Quotient zweier Polynome, beide mit Ordnung $n$, ausgedrückt werden als:

$R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,{\frac {\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}{\prod _{i=1}^{n}(x-x_{pi})}}$      ($n$ gerade)

mit den Nullstellen $x_{i}$ und den Polstellen $x_{pi}$. Der Faktor $r_{0}$ wird so gewählt, dass $R_{n}(\xi ,1)=1$ gilt.

Für ungerade Ordnung ergeben sich ein Pol bei $x=\infty$ und eine Nullstelle bei $x=0$, womit rational elliptische Funktionen bei ungerader Ordnung in der Form

$R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,x\,{\frac {\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{i})}{\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{pi})}}$      ($n$ ungerade)

ausgedrückt werden können.

Damit lassen sich die ersten Ordnungen der rational elliptischen Funktionen formulieren:

$R_{1}(\xi ,x)=x$

$R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}$, mit $t\equiv {\sqrt {1-{\frac {1}{\xi ^{2}}}}}$.

$R_{3}(\xi ,x)=x\,{\frac {(1-x_{p}^{2})(x^{2}-x_{z}^{2})}{(1-x_{z}^{2})(x^{2}-x_{p}^{2})}}$, mit $G\equiv {\sqrt {4\xi ^{2}+(4\xi ^{2}(\xi ^{2}\!-\!1))^{2/3}}}$, $x_{p}^{2}\equiv {\frac {2\xi ^{2}{\sqrt {G}}}{{\sqrt {8\xi ^{2}(\xi ^{2}\!+\!1)+12G\xi ^{2}-G^{3}}}-{\sqrt {G^{3}}}}}$, $x_{z}^{2}=\xi ^{2}/x_{p}^{2}$

Weitere Ordnungen lassen sich dann mittels niedriger Ordnungen mittels der Verschachtelungseigenschaft bilden:

$R_{4}(\xi ,x)=R_{2}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))={\frac {(1+t)(1+{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1+{\sqrt {t}})x^{2}+1}{(1+t)(1-{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1-{\sqrt {t}})x^{2}+1}}$

$R_{5}(\xi ,x)$, keine rationale Funktion.

$R_{6}(\xi ,x)=R_{3}{\bigl (}R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x){\bigr )}$

Eigenschaften

Normalisierung

Alle rational elliptischen Funktionen sind bei $x=1$ auf $1$ normiert:

$R_{n}(\xi ,1)=1$.

Verschachtelung

Bei der Eigenschaft der Verschachtelung gilt:

$R_{m}(R_{n}(\xi ,\xi ),R_{n}(\xi ,x))=R_{m\cdot n}(\xi ,x)$.

Aus der Eigenschaft zur Verschachtelung folgt unmittelbar die obige Regel zur Angabe von bestimmten Ordnungen als rationale Funktion, da sich $R_{2}$ und $R_{3}$ als geschlossener analytischer Ausdruck angeben lassen. Damit lassen sich alle Ordnungen $n=2^{a}3^{b}$ in Form von analytischen Funktionen angeben.

Grenzwerte

Die Grenzwerte der rational elliptischen Funktionen für $\xi \to \infty$ lassen sich als Tschebyschow-Polynome erster Art $T_{n}$ ausdrücken:

$\lim _{\xi =\rightarrow \,\infty }R_{n}(\xi ,x)=T_{n}(x)$.

Symmetrie

Es gilt allgemein:

$R_{n}(\xi ,-x)=R_{n}(\xi ,x)$ für gerade $n$,

$R_{n}(\xi ,-x)=-R_{n}(\xi ,x)\,$ für ungerades $n$.

Welligkeit

$R_{n}(\xi ,x)$ hat eine einheitliche Welligkeit von $\pm 1$ im Intervall $-1\leq x\leq 1$.

Kehrwert

Es gilt allgemein

$R_{n}(\xi ,\xi /x)={\frac {R_{n}(\xi ,\xi )}{R_{n}(\xi ,x)}}$.

Dies bedeutet, dass die Pole und Nullstellen paarweise auftreten müssen und der Beziehung

$x_{pi}x_{zi}=\xi \,$

genügen müssen. Ungerade Ordnungen weisen somit eine Nullstelle bei $x=0$ und eine Polstelle bei Unendlich auf.

Quellen

• Elliptic rational functions auf MathWorld (engl.)

Literatur

• Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. 2. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-49324-2.