Rabi-Oszillation

Rabi-Oszillationen treten in einem quantenmechanischen Zwei-Niveau-System (z. B. zwei Zustände in einem Atom) auf, welches mit einer externen periodischen Kraft (z. B. ein Laser-Lichtfeld bei Laserspektroskopie oder ein oszillierendes Magnetfeld bei Kernspinresonanzspektroskopie) mit (Kreis-)Frequenz wechselwirkt. Liegt die Anregungsfrequenz nahe der Resonanzfrequenz der zwei Zustände, so oszilliert die Besetzung der Zustände mit einer Frequenz , die auch als Rabi-Frequenz bezeichnet wird. Sie ist nach dem amerikanischen Physiker Isidor Isaac Rabi benannt.

schematische Darstellung eines Zweizustandssystems, das mit elektromagnetischer Strahlung wechselwirkt.

Rabi-Oszillationen sind vor allem für die Beschreibung der Wechselwirkung von kohärentem Licht mit Atomen wichtig. Unter bestimmten vereinfachenden Annahmen können zwei Elektronenzustände des Atoms als Zwei-Niveau-System genähert werden, welches durch das (schwache) Lichtfeld gestört wird. Damit lassen sich die Eigenschaften des Systems im Rahmen seiner störungstheoretischen Betrachtung berechnen. Das Ansteigen der Besetzungswahrscheinlichkeit des zweiten (energetisch höheren) Zustands entspricht dann der Absorption des Lichts. Rabi-Oszillationen sind experimentell messbar. In vielen Fällen spielen allerdings Dämpfungs- oder Dephasierungsprozesse eine wichtige Rolle, wodurch die Oszillationen schnell abklingen und (wenn überhaupt) nur für sehr kurze Zeiten zu beobachten sind.

Resonante WechselwirkungBearbeiten

Die beiden Zustände 1 und 2 des Systems haben die Energien   und  . Die zugehörige Frequenz des Übergangs ist dann  . Ist die Störung resonant, also  , so ist die Rabi-Frequenz im Falle von Atom-Licht-Wechselwirkung:

 

Hierbei ist   die Stärke des eingestrahlten Lichtfeldes (elektrische Feldkomponente, die hier überwiegt),   das Übergangsdipolmoment des Übergangs   und   das reduzierte Planck’sche Wirkungsquantum. Im Falle der Kernspinresonanz-Spektroskopie (NMR) wechselwirkt ein oszillierendes Magnetfeld mit Stärke   mit dem durch den Kernspin   erzeugten magnetischen Dipolmoment   eines Atoms. Die Rabi-Frequenz dieses Systems ergibt sich mit dem gyromagnetischen Verhältnis   zu:

 

Die Besetzungswahrscheinlichkeiten   und   der Zustände oszillieren mit der Rabi-Frequenz   nach folgender Formel:

  und  

Dabei wurde davon ausgegangen, dass zur Zeit   nur der Grundzustand 1 besetzt war.

Verstimmte WechselwirkungBearbeiten

Wird nun statt eines resonanten Störfelds ein um   verstimmtes Störfeld eingestrahlt, so ändert sich auch die Rabi-Frequenz zu:

 

wobei   die Rabi-Frequenz des resonant gestörten Systems ist. Eine vollständige theoretische Behandlung ist mit Hilfe der zeitabhängigen Störungstheorie möglich. Für die Besetzungswahrscheinlichkeit   des angeregten Zustands ergibt sich daraus dann folgender zeitlicher Verlauf (zur Zeit   war wieder nur der Grundzustand 1 besetzt):

 

und die Besetzungswahrscheinlichkeit für den Zustand 1 ist  . Die Besetzung   ist im folgenden Bild für verschiedene Verstimmungen   dargestellt:

 

Durch die externe Störung wird der Zustand 2 bis zu einem Maximalwert besetzt und dann wieder abgebaut. Dieses Verhalten setzt sich periodisch fort. Bemerkenswert ist in diesem Fall, dass eine vollständige Umsetzung nur dann möglich ist, wenn die Verstimmung Null ist, die Frequenz der Störung die Übergangsfrequenz also resonant trifft. Weiterhin ist anzumerken, dass die Rabi-Oszillationen in diesem (vereinfachten) Modell für alle Zeiten fortlaufen und somit eine stationäre Umbesetzung der Zustände bei eingeschalteter Störung nicht möglich ist.

Die Amplitude der Rabi-Oszillationen beschreibt den Wirkungsquerschnitt   bei Anregung des Zwei-Niveauübergangs. Sie lautet nach obiger Formel für  :

 

Dies entspricht einer Lorentzkurve, wie sie auch für andere Resonanzphänomene typisch ist.

HerleitungBearbeiten

Der Hamilton-Operator des Systems zerfällt in zwei Anteile:

 , mit  

wobei   das ungestörte Zwei-Niveau-System und   die zeitabhängige Störung beschreiben. Die bereits oben erwähnten Zustände   sind nun die Lösungen des ungestörten Hamilton-Operators:

  und  .

Mit diesen Zuständen kann man die Lösung   der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung

 

als Linearkombination der ungestörten Lösungen ansetzen:

 .

Durch Einsetzen dieses Ansatzes in die zeitabhängige Schrödingergleichung ergibt sich ein System zweier gekoppelter Differentialgleichungen für   und  , das folgende Lösung hat:

  und
 ,

woraus sich die obigen Besetzungswahrscheinlichkeiten als   und   ergeben.

QuellenBearbeiten

WeblinksBearbeiten