Positiv semidefinite Funktion

Eine positiv semidefinite Funktion ist eine spezielle komplexwertige Funktion, die meist auf den reellen Zahlen oder allgemeiner auf Gruppen definiert wird. Verwendung finden diese Funktionen beispielsweise bei der Formulierung des Satzes von Bochner, der die charakteristischen Funktionen in der Stochastik beschreibt.

DefinitionBearbeiten

Eine Funktion

 

heißt eine positiv semidefinite Funktion, wenn für alle   und alle   und alle   gilt, dass

 

ist. Allgemeiner heißt eine Abbildung von einer (hier multiplikativ geschriebenen) Gruppe

 

eine positiv semidefinite Abbildung, wenn für alle   und alle   und alle   gilt:

 .

Alternative DefinitionBearbeiten

Alternativ lässt sich eine positiv semidefinite Funktion definieren als eine Funktion, bei der für alle   die Matrix

 

eine positiv semidefinite Matrix ist.

AuftretenBearbeiten

Positiv semidefinite Funktionen treten beispielsweise in der Stochastik auf. Dort wird ausgehend von trennenden Familien gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeitsmaße auf   durch die Angabe einer charakteristischen Funktion eindeutig bestimmt sind. Somit existiert eine Bijektion zwischen den Wahrscheinlichkeitsmaßen und den charakteristischen Funktionen. Die Menge der charakteristischen Funktionen bleibt dabei aber unklar, sprich für eine vorgegebene Funktion ist nicht offensichtlich, ob es sich um die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes handelt oder nicht.

Der Satz von Bochner beschreibt die charakteristischen Funktionen nun vollständig mithilfe der positiv semidefiniten Funktionen: Eine stetige Funktion   von   nach   ist genau dann die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes, wenn sie positiv semidefinit ist und   ist.

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten