In der Mathematik bezeichnet man als perfekte Gruppen diejenigen Gruppen, die mit ihrer Kommutatorgruppe identisch sind.

Eine Gruppe ist demnach perfekt, wenn gilt, wobei die Kommutatorgruppe bezeichnet. Früher wurden perfekte Gruppen auch als vollkommene Gruppen bezeichnet.

Eigenschaften Bearbeiten

Hinweis: Die hier vorgestellten Eigenschaften beziehen sich auf nicht triviale perfekte Gruppen.

Faktorgruppen perfekter Gruppen sind perfekt. Da jede kommutative Faktorgruppe die Kommutatorgruppe herausfaktorisiert, besitzen perfekte Gruppen keine nicht trivialen abelschen Faktorgruppen. Perfekte Gruppen sind also höchstgradig nicht abelsch, da die Kommutatorgruppe der kleinste Normalteiler ist, sodass die zugehörige Faktorgruppe abelsch ist. Insbesondere sind perfekte Gruppen daher nicht auflösbar und besitzen somit auch keine auflösbaren Faktorgruppen.

Beispiele Bearbeiten

Die alternierenden Gruppen   sind perfekt für  , denn sie sind sogar einfach, besitzen also keine nicht-trivialen Normalteiler, und sie sind nicht abelsch, also ist die Kommutatorgruppe die gesamte Gruppe. Da die Kommutatorgruppe   mit der kleinschen Vierergruppe   identisch ist, ist   nicht perfekt. Die abelsche Gruppe   ist einfach, aber nicht perfekt, denn als abelsche Gruppe besitzt sie   als Kommutatorgruppe.

Ist eine nicht-abelsche Gruppe einfach, dann ist sie auch perfekt. Denn die Kommutatorgruppe ist ein Normalteiler, der von   verschieden ist und damit die ganze Gruppe.

Die spezielle lineare Gruppe   ist perfekt, aber nicht einfach.

Weblinks Bearbeiten