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Die Pappos-Kette im Arbelos

Die Pappos-Kette (auch Pappus-Kette) ist in der Geometrie eine unendliche Folge einander berührender Kreise in einem Arbelos. Sie ist benannt nach dem griechischen Geometer Pappos von Alexandria, der sie im 3. Jahrhundert erstmals untersuchte.

Inhaltsverzeichnis

KonstruktionBearbeiten

 
Pappos-Kette im gespiegelten Arbelos

Ein Arbelos wird gebildet durch die drei Halbkreise über  ,   und   (sichelförmige Figur in der oberen Abbildung). Der Inkreis des Arbelos mit dem Mittelpunkt   ist der erste Kreis der Pappos-Kette, die weiteren (mit den Mittelpunkten  ,   u. s. f.) ergeben sich durch Aneinanderreihung von Kreisen, die den jeweils vorangehenden Kreis der Kette, den großen Halbkreis über   und einen der beiden kleineren Halbkreise berühren. In der Abbildung, auf die sich auch der weitere Text bezieht, ist das der linke Halbkreis über  , die Kette hätte ebenso gut nach rechts (den Halbkreis über   berührend) fortgesetzt werden können.

Man kann die Pappos-Kette auch in einem an   gespiegelten Arbelos betrachten, dann wird der zum Kreis ergänzte Arbelos-Halbkreis, der nicht alle Kreise der Kette berührt (hier der über  ), zu einem Glied der Kette.

EigenschaftenBearbeiten

 
Abstand des Kreises 3 von der Arbelos-Grundlinie

Man nummeriere die Kreise der Pappos-Kette wie folgt: Der zum Kreis ergänzte Arbelos-Halbkreis über   erhält die Nummer 0, der Arbelos-Inkreis die Nummer 1 u. s. f. (entsprechend der Indizierung der Kreismittelpunkte   in der oberen Abbildung), die Radien dieser Kreise bezeichne man mit  . Die Radien der beiden kleinen Arbelos-Halbkreise seien   und  .

  • Der Kreis mit der Nummer   hat den Radius
     .
  • Der Mittelpunkt   des Kreises mit der Nummer   hat den Abstand   von der Arbelos-Grundlinie  . Die Abbildung rechts illustriert dies für den Kreis mit der Nummer 3.
  • Die Mittelpunkte der Kreise der Pappos-Kette liegen auf einer Ellipse (gestrichelt in der oberen Abbildung). Die Brennpunkte dieser Ellipse sind die Mittelpunkte der Strecken   und  .
  • Die Punkte, in denen die Kreise der Pappos-Kette einander berühren, liegen auf einem Kreis.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Pappus chain – Sammlung von Bildern