Als Ortskurve bezeichnet man eine Kurve, auf der alle Punkte einer gegebenen Funktionenschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen. In einer Kurvendiskussion werden häufig die Ortskurven von Extrempunkten oder Wendepunkten der Graphen einer Funktionenschar gesucht.

Berechnung Bearbeiten

Zur Berechnung der Ortskurve werden zunächst die  -Koordinaten der betreffenden Punkte (z. B. aller Tiefpunkte einer Funktionenschar) in Abhängigkeit vom jeweiligen Parameter (z. B.  ) bestimmt.

Anschließend wird die Gleichung für die  -Koordinate nach dem Parameter aufgelöst und in die Funktionsgleichung eingesetzt, wodurch der Parameter eliminiert wird: Übrig bleibt die Gleichung der Ortskurve.

Alternativ kann auch zunächst die Gleichung für die  -Koordinate bestimmt werden und die nach dem Parameter umgestellte Gleichung in diese eingesetzt werden.

Beispiele Bearbeiten

Extrempunkte einer Kurvenschar Bearbeiten

Die Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) der durch   gegebenen Funktionenschar haben die  -Koordinaten   (mit  ). Die Kurve mit der Gleichung   ist die Ortskurve aller Extrempunkte, da alle Extrempunkte der einzelnen Funktionsgraphen auf dieser Kurve liegen.

Wendepunkte einer Kurvenschar Bearbeiten

Wenn man z. B. die Ortskurve für alle Wendepunkte der Funktionenschar

  mit  

bestimmen möchte, geht man folgendermaßen vor:

  1. Wendestellen bestimmen:
      und  
  2. Da der Funktionsgraph achsensymmetrisch zur  -Achse ist, kann man mit einer einzigen Wendestelle weiterarbeiten.
  3.  -Koordinate in Gleichung schreiben:
     
  4.  -Gleichung nach Parameter   auflösen:
     
  5. Gleichung von   in die Funktionsgleichung einsetzen:
     

Die Ortskurve für alle Wendepunkte der Funktionen   hat also die Gleichung  .

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten