Hauptmenü öffnen

Multikollinearität ist ein Problem der Regressionsanalyse und liegt vor, wenn zwei oder mehr erklärende Variablen eine sehr starke Korrelation miteinander haben. Zum einen wird mit zunehmender Multikollinearität das Verfahren zur Schätzung der Regressionskoeffizienten instabil und Aussagen zur Schätzung der Regressionskoeffizienten zunehmend ungenau. Zum anderen ist die Modellinterpretation nicht mehr eindeutig. Das klassische Symptom von starker Multikollinearität ist ein hohes Bestimmtheitsmaß einhergehend mit niedrigen t-Werten für die einzelnen Regressionsparameter.

Probleme der MultikollinearitätBearbeiten

Perfekte Kollinearität macht die rechnerische Durchführung der linearen Regressionsanalyse unmöglich und tritt meist als Folge der Fehlspezifikation des zu Grunde liegenden Modells (wahres Modell) auf.

Numerische InstabilitätBearbeiten

Mathematisch lässt sich die Lösung des multiplen linearen Regressionsproblems   für die Regressionskoeffizienten der mit der Methode der kleinsten Quadrate darstellen als

 .

Der Vektor   enthält die geschätzten Regressionskoeffizienten, der Vektor   und die Datenmatrix

 

die    -dimensionalen Beobachtungswerte. Das Problem liegt in der Berechnung der Inversen von der Produktsummenmatrix  ; je stärker die Multikollinearität ist, desto mehr nähert sich   einer singulären Matrix an, d. h. es existiert keine Inverse.

ModellinterpretationBearbeiten

Wenn das Regressionsmodell   ist und perfekte Multikollinearität vorliegt, d. h.

  oder umgestellt
 

und setzt beide Gleichungen jeweils in das Regressionsmodell ein, so erhält man

(1)  
(2)  

Im Modell (1) hängt   nur noch von   ab und im Modell (2) hängt   nur noch von   ab. Es stellt sich nun die Frage, welches Modell ist das „Richtige“? In der Ökonomie spricht man von nicht identifizierbaren Modellen.

Identifikation von MultikollinearitätBearbeiten

Weil empirische Daten immer einen gewissen Grad an Multikollinearität aufweisen, wurden Kennzahlen entwickelt, die Hinweise auf Multikollinearität liefern. Einen eindeutigen Richtwert gibt es jedoch nicht.

KorrelationBearbeiten

Zur Aufdeckung von Multikollinearität dient z. B. die Analyse der Korrelationskoeffizienten der Regressoren. Sehr hohe positive oder negative Korrelationskoeffizienten zeigen einen starken Zusammenhang zwischen den Regressoren und damit Multikollinearität an. Eine niedrige Korrelation zwischen den Regressoren bedeutet jedoch nicht automatisch die Abwesenheit von Multikollinearität (Beispiel [1]); auch lineare Kombinationen von Regressoren, die eine hohe positive oder negative Korrelation aufweisen, z. B. zwischen   und  , führen zu den oben genannten Problemen. Eine hohe Korrelation zwischen den Regressoren kann durch die Korrelationsmatrix identifiziert werden.

BestimmtheitsmaßBearbeiten

Ein hohes Bestimmtheitsmaß   der linearen Regressionen

 ,

d. h. der  -te Regressor wird durch alle anderen Regressoren gut vorhergesagt, zeigt Multikollinearität an.

ToleranzBearbeiten

Die Toleranz   wird zur Einschätzung der Multikollinearität benutzt. Ein Wert von   deutet auf eine starke Multikollinearität hin.

Varianzinflationsfaktor (VIF)Bearbeiten

Je größer der Varianzinflationsfaktor

 , (mit   als Bestimmtheitsmaß der Regression von   auf alle übrigen Einflussgrößen),

desto stärker sind die Hinweise auf Multikollinearitäten. Einen definitiven Wert, ab wann der VIF eine (zu) hohe Multikollinearität anzeigt, gibt es nicht. Als Daumenregel werden häufig VIF-Werte von über 10 als „zu hoch“ eingestuft.[2]

KonditionsindexBearbeiten

Die Produktsummenmatrix   ist positiv semidefinit, d. h. alle Eigenwerte   der Matrix sind positiv oder Null. Wird die Matrix singulär, dann ist mindestens ein Eigenwert gleich Null. Ist der Konditionsindex

 

für ein   größer als 30 spricht man ebenfalls von starker Multikollinearität.

LiteraturBearbeiten

  • L. von Auer: Ökonometrie – Eine Einführung. 7. Auflage. Springer, Berlin 2016, ISBN 978-3-662-47868-4, S. 561–588.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. http://www.sgipt.org/wisms/EWA/EWA0.htm#Unauffaellige%20Korrelationsmatrix
  2. Siehe für die Daumenregel und eine Diskussion dazu: Wooldridge, Introductory Econometrics:A Modern Approach, 2013, S. 98.

Siehe auchBearbeiten