Mathematische Beschreibung des Bipolartransistors

Beschreibung des Bipolartransistors mithilfe der Mathematik
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Folgendes muss noch verbessert werden: Im derzeitigen Unterabschnitt Basis-Emitter-Durchbruchsspannung - Die Beschreibungen von pnp- und npn-Transistor besser voneinander trennen und präziser beschreiben. Die derzeitige Formulierung kann zu Verwirrungen führen. Siehe auch Diskussionseintrag aus 2015 eines anderen Autoren. Quellenangabe fehlt zudem im Abschnitt. --NeptunT (Diskussion) 08:31, 28. Dez. 2020 (CET)

Das physikalische Verhalten des Bipolartransistors basiert im Wesentlichen auf dem der Diode, wodurch die entsprechenden Formeln (in einer etwas abgewandelten Form) auch auf den Bipolartransistor angewandt werden können. Zusätzlich gilt es einige weitere Effekte wie die Stromverstärkung zu berücksichtigen.

FormelzeichenBearbeiten

Im Folgenden werden die hier verwendeten Formelzeichen verwendet. Für weitere Formelzeichen siehe auch „Ersatzschaltungen des Bipolartransistors“.

StrömeBearbeiten

  -Strom -Dauer-
strom
-Spitzen-
strom
Kollektor- IC    
Basis- IB    
Emitter- IE    
  • Sättigungssperrstrom:  
  • Kollektor-Basis-Sperrstrom:  
  • Emitter-Basis-Sperrstrom:  
  • Kollektor-Emitter-Sperrstrom:   bzw.  

SpannungenBearbeiten

  • Kollektor-Emitter Spannung:  
  • Basis-Emitter Spannung:  
  • Kollektor-Basis-Spannung:  
  • Early-Spannung:  
     
     
  • Emitter-Basis Durchbruchsspannung:  
  • Kollektor-Basis Durchbruchsspannung:  
      bei Niederspannungstransistoren
      bei Hochspannungstransistoren

WiderständeBearbeiten

  • Kleinsignalausgangswiderstand:  
  • Kleinsignaleingangswiderstand:  

LeistungenBearbeiten

  • Verlustleistung: PV
  • Maximale Verlustleistung:
    Ptot oder Pmax (allgemein)
    PV,25(A) (Umgebungsluftgekühlt; bei 25 °C)
    PV,25(C) (mit zusätzlicher Kühlung; bei 25 °C)

AndereBearbeiten

  • Großsignalverstärkung: B
      bei Leistungstransistoren
      bei Kleinleistungstransistoren
      bei Darlington-Transistoren
  • Kleinsignalverstärkung:  
  • Steilheit: S
  • Rückwärtssteilheit:  
  • Arbeitspunkt: AP
  • Umgebungstemperatur: TA
  • Gehäusetemperatur: TC

StromverstärkungsfaktorBearbeiten

Man unterscheidet beim Bipolartransistor den Gleichstromverstärkungsfaktor B (auch  ) und die differentielle Stromverstärkung β (auch  ). Beide können sehr unterschiedlich sein (je nach Aufbau und Dotierung des Transistors). Sollten im Datenblatt keine anderen Angaben zu β zu finden sein, kann man die Näherung   verwenden.

Die Formel für den Gleichstrom-Verstärkungsfaktor lautet:

 

Diese Formel kann für die meisten Berechnungen eingesetzt werden, da sich die durch den Early-Effekt verursachte Abhängigkeit des Gleichstromverstärkungsfaktors B von   nur geringfügig auswirkt.

Unter Berücksichtigung des Early-Effekts erhält man:

 

wobei   die ideale Stromverstärkung ohne Early-Effekt darstellt.

Bei Wechselstrom tritt die differenzielle Stromverstärkung auf. Diese ergibt sich aus:

  mit  

Durch Einsetzen erhält man den Zusammenhang zwischen B und ß:

 

Man bezeichnet B auch als Großsignalverstärkung und   als Kleinsignalverstärkung.

GroßsignalgleichungenBearbeiten

Über die Gleichungen der Diode zeigt sich eine exponentielle Abhängigkeit der Ströme   und   von der Spannung  . Für den Normalbetrieb ergibt sich somit:

 
 

KleinsignalparameterBearbeiten

Die partiellen Ableitungen im Arbeitspunkt werden als Kleinsignalparameter bezeichnet. Diese können aus der Kennlinie ermittelt werden, allerdings ergibt sich aus dem Ablesefehler unter Verwendung von Datenblättern normalerweise kein brauchbares Ergebnis. Zudem sind die entsprechenden Kennlinien meist auch nicht angegeben.

SteilheitBearbeiten

Die Steilheit beschreibt die differenzielle Änderung des Kollektorstromes   und der Spannung  .

 

KleinsignaleingangswiderstandBearbeiten

Der Kleinsignaleingangswiderstand   beschreibt die differenzielle Änderung der Spannung   und mit dem Basistrom  .

 

  kann durch eine Umwandlung dieser Formel auch aus der Steilheit abgeleitet werden:

 

KleinsignalausgangswiderstandBearbeiten

Der Kleinsignalausgangswiderstand   gibt die differenzielle Änderung zwischen der Emitterspannung   und dem Kollektorstrom   an.

 

RückwärtssteilheitBearbeiten

Die Rückwärtssteilheit   beschreibt die differenzielle Änderung zwischen dem Basisstrom   und der Kollektor-Emitter-Spannung  .

 

Die Rückwärtssteilheit ist nur sehr gering und kann daher meist vernachlässigt werden.

 

KleinsignalgleichungenBearbeiten

Aus den Kleinsignalparametern erhält man die Kleinsignalgleichungen:

 
 

KühlungBearbeiten

Die Berechnung der Kühlung eines Transistors entspringt der Wärmelehre. Die entstehende Wärme in der Sperrschicht (junction)   muss über das Substrat an das Gehäuse (case) mit der Temperatur  , danach über den Kühlkörper (heatsink) mit der Temperatur   und danach an die Umgebung (ambient) mit der Temperatur   abgeleitet werden. Der dabei entstehende Wärmestrom (Φ) entspricht hierbei der im Transistor umgesetzten Leistung  .

 

Die in den einzelnen Körpern (Substrat, Gehäuse, Kühlkörper, Umgebung) enthaltene Wärmemenge   ergibt sich aus:

 

Wobei   die Wärmekapazität der jeweiligen Körper darstellt, in der die Wärme gespeichert wird. Wird im Transistor zu viel Leistung umgesetzt, kann die Wärme nicht schnell genug abfließen und die Temperatur der einzelnen Schichten erhöht sich. Zudem darf die Umgebungstemperatur nicht zu hoch sein, damit die Wärme abfließen kann. Im Pulsbetrieb wird die maximale Leistung kurzfristig überschritten, da jedoch die Schichten die Möglichkeit zur Abkühlung haben, wird die maximal zulässige Temperatur dabei nicht überschritten.

 

Hierbei ist   die Pulsdauer,   die Wiederholfrequenz und D das Tastverhältnis.

 

GrenzdatenBearbeiten

Ein Transistor besitzt verschiedene Kenndaten, die im Betrieb nicht überschritten werden dürfen. Dazu gehören Grenzspannungen, Grenzströme und die maximal zulässige Verlustleistung. Werden diese Werte überschritten, tritt ein Durchbruch auf, bei dem das Halbleitermaterial im Transistor schmilzt und dadurch dauerhaft leitfähig wird bzw. verdampft. Wenn Halbleitermaterial verdampft, kann durch den entstehenden Gasdruck das Transistorgehäuse aufgesprengt werden. Die Werte von pnp- und npn-Transistoren unterscheiden sich im Vorzeichen, jedoch nicht in den Beträgen.

Die Bezeichnung der Durchbruchsspannungen und -ströme setzen sich zusammen aus dem jeweiligen Formelzeichen (Spannung = U; Strom = I), der Bezeichnung BR für Durchbruch (breakdown), der Angabe der Anschlüsse, auf die sich der Wert bezieht (C; B; E), und einem Zusatz, welcher für den Belastungstyp des Transistors steht.

Zusatz Bedeutung Ausgang
S shorted kurzgeschlossen
O offen; open unbelastet
R resistor belastet

ArbeitsbereichBearbeiten

 
Begrenzung des Transistor-Arbeitsbereichs
 
Ausgangskennlinienfeld eines npn-Transistors
 
Betriebsgrenzen eines pnp-Darlingtonleistungs- transistors Typ BDV66C

Ein Bipolartransistor hat einen Arbeitsbereich (engl.: SOA, Safe Operation Area), der im Wesentlichen durch folgende Größen begrenzt wird:

  • maximal zulässiger Kollektorstrom  
  • maximale Kollektor-Emitterspannung   (Leerlauffall), auch als   bezeichnet
  • maximale Sperrschichttemperatur  

Da die Sperrschichttemperatur nicht direkt messbar ist, wird in Datenblättern die maximale Verlustleistung   bei gegebener Umgebungs- bzw. Gehäusetemperatur angegeben.

Insbesondere bei Leistungstransistoren existiert noch eine weitere Grenze, der Durchbruch 2. Art (engl.: second breakdown oder secondary breakdown). Bei Leistungstransistoren hat das Halbleitermaterial notwendigerweise ein größeres Volumen als z. B. bei Kleinsignaltransistoren. Innerhalb des Halbleitermaterials treten daher vermehrt Inhomogenitäten auf, was dazu führt, dass in einigen Volumenelementen eine höhere Verlustleistung in Wärme umgesetzt wird als in anderen Volumenelementen. Bei hinreichend großer Verlustleistung, die aber noch unterhalb des maximalen Wertes   liegt, steigt in einigen Volumenelementen die Temperatur so weit an, dass das Halbleitermaterial in den betroffenen Volumenelementen instabil wird. Bei hinreichend großer Kollektor-Emitterspannung erfolgt in den betroffenen Volumenelementen ein lokaler Durchbruch, wodurch diese zerstört werden. Durch den Ausfall einzelner Volumenelemente steigen die Verlustleistung und damit die Temperatur in allen anderen Volumenelementen an. Es erfolgen weitere lokale Durchbrüche mit Zerstörung der betroffenen Volumenelemente. Der Effekt setzt sich kaskadenartig fort und führt schließlich zur Zerstörung des Halbleitermaterials.

SpannungenBearbeiten

Basis-Emitter-Durchbruchsspannung
Bei der Basis-Emitter-Diode des pnp-Transistors liegt die Basis-Emitter-Durchbruchsspannung   für die meisten Transistoren im Bereich zwischen 5 und 7 Volt. Da npn-Transistoren üblicherweise nicht mit einer negativen BE-Spannung betrieben werden, ist diese Angabe meist nicht relevant. Diese Spannung ist die kleinste Grenzspannung eines Transistors.
Kollektor-Basis-Durchbruchsspannung
Die Kollektor-Basis-Durchbruchsspannung   gibt an, wann die Kollektor-Diode im Sperrbetrieb durchbricht. Da die Kollektor-Diode im Normalbetrieb gesperrt sein muss, darf diese Spannung im Normalbetrieb nicht überschritten werden. Diese Spannung ist die größte Grenzspannung eines Transistors.
Kollektor-Emitter-Spannung
In der Praxis ist die maximale Kollektor-Emitter-Spannung   besonders wichtig. Ab einer bestimmten Kollektor-Emitter-Spannung tritt ein Durchbruch auf, durch den der Kollektorstrom sehr stark ansteigt und damit die Zerstörung des Transistors verursacht.

Allgemein gilt:

 

für npn-Transistoren (UBR > 0 V) und umgekehrt

 

für pnp-Transistoren (UBR < 0 V).

StrömeBearbeiten

Bei den Grenzströmen unterscheidet man zwischen den maximalen Dauerströmen (continuous currents) und Spitzenströmen (peak currents). Die maximalen Dauerströme werden  ,   und   genannt. Die Spitzenströme werden  ,   und   genannt und gelten jeweils für bestimmte, im Datenblatt angegebene, Pulsdauern und Pulswiederholraten. Die Spitzenströme sind üblicherweise 1,2 bis 2 mal so groß wie die Dauerströme.

Die Sperrströme (cut-off currents) werden mit   und   sowie mit   bzw.   bezeichnet. Diese Ströme treten an der Emitter- bzw. Kollektor-Diode auf, wenn an dieser etwas weniger als die jeweiligen Diffusionsspannungen anliegen (d. h. die Diode gerade nicht durchschaltet). Hierbei gilt:

 

LeistungBearbeiten

Die Verlustleistung des Transistors ergibt sich aus:

 

Die maximale Verlustleistung   bzw.   ist eine der wichtigsten Kenndaten eines Transistors. Die Temperatur in der Sperrschicht erhöht sich um den Wert, bei dem die Wärme über das Gehäuse und den Kühlkörper an die Umgebung abgegeben werden kann. Diese Temperatur darf den materialabhängigen Grenzwert nicht überschreiten. Für Silicium gilt hierbei:

 

In der Praxis rechnet man hierbei sicherheitshalber mit einem Grenzwert von 150 °C, um ein vorzeitiges Schmelzen des Siliciums zu verhindern.

Im Datenblatt wird die maximale Verlustleistung für zwei Fälle angegeben:

  1.  
    Umgebungsluftgekühlter (free-air cooled) Betrieb bei stehender Montage auf einer Leiterplatte bei einer Umgebungstemperatur (ambient temperature) von  . Bei Kleinleistungstransistoren ohne Befestigung für einen zusätzlichen Kühlkörper wird nur dieser Wert im Datenblatt angegeben, da in diesem Fall   gilt.
  2.  
    Betrieb bei einer Gehäusetemperatur (case temperature) von  . Die notwendigen Kühlmaßnahmen werden hierbei meist nicht mit angegeben. Bei Leistungstransistoren, die nur mit einem Kühlkörper betrieben werden dürfen, wird nur dieser Wert im Datenblatt als   angeben.

Da die maximal zulässige Leistung   mit zunehmender Temperatur abnimmt, wird im Datenblatt oft die sog. power derating curve angegeben, die   in Abhängigkeit von   bzw.   angibt.

TemperaturabhängigkeitBearbeiten

Die Kenndaten eines Transistors sind stark von der Temperatur des Transistors abhängig. Die Abhängigkeit des Zusammenhangs zwischen Kollektorstrom   und Basis-Emitter-Spannung   von der Temperatur T ist hierbei besonders wichtig:

 

Der Grund dafür ist die Temperaturabhängigkeit vom Sperrstrom   und der Temperaturspannung  :

 
  mit  

Hierbei ist k die Boltzmannkonstante, q die Elementarladung und   die Bandabstandsspannung von Silizium. Da die Temperaturabhängigkeit von UG nur sehr gering ist, wird diese in der Praxis nicht berücksichtigt.

Durch Differentiation erhält man:

 
 

Das bedeutet, dass   bei einer Temperaturerhöhung von nur   bereits auf das 1,065-fache ansteigt. Zudem verdoppelt sich der Kollektorstrom  , sobald die Temperatur um ca.   gestiegen ist. Der Arbeitspunkt kann daher nicht über   eingestellt werden, da   bei Temperaturänderung möglichst konstant gehalten werden muss.

Für den Fall, dass   nur schwach temperaturabhängig ist, kann man näherungsweise die Temperaturabhängigkeit von   ermitteln:

 

Die Stromverstärkung ist ebenfalls temperaturabhängig. Hierbei gilt der Zusammenhang:[1]

  mit  

Hierbei ist   eine vom Material abhängige Konstante. Bei Silicium gilt  . In der Praxis ergibt sich bei T=300 K:

 

Und für die Näherung:

 

VierpoldarstellungBearbeiten

Gemäß der Vierpoltheorie kann man jedes elektronische Bauelement als Vierpol behandeln. Im Fall des Transistors stellt man die Kleinsignalgleichungen in Matrizenform dar:

 

oder in der Leitwertdarstellung mit der Y-Matrix Ye:

 

Alternativ kann man auch die Hybrid-Darstellung mit der H-Matrix He verwenden:

 

Der Index e bedeutet hierbei, dass der Transistor in einer Emitterschaltung betrieben wird.

Für die Umwandlung gilt:

 
 
 
 
 
 
Ersatzschaltbild mit h-Parametern. Die Stromquelle verhält sich hier wie eine Stromsenke Damit   fließen kann, ist der Transistor in einem geeigneten Stromkreis zu betreiben, den eine Energiequelle speist.
 
Vierquadrantenkennlinienfeld mit Kennzeichnung der h-Parameter

Hybrid-ErsatzschaltbildBearbeiten

Die h-Parameter können wie folgt ermittelt werden:

  • Kurzschluss-Eingangsimpedanz bei  , bzw.  .
 
  • Leerlauf-Spannungsrückwirkung bei  ,
 
  • Kurzschluss-Stromverstärkung bei  , wird in Datenblättern eher als  (Forward-Emitter) angegeben.
 
  • Leerlauf-Ausgangsleitwert bei  .
  Im Vierquadrantenkennlinienfeld können die Werte direkt aus den Diagrammen abgelesen werden.

Interpretation mithilfe der Kirchhoff'schen GleichungenBearbeiten

 
 

Anwendung Emitterschaltung ohne GegenkopplungBearbeiten

Der Emitter liegt in diesem Fall satt auf GND, der Kollektorwiderstand kann im Kleinsignal-Ersatzschaltbild auch nach GND gezeichnet werden und muss mit einem eventuell vorhandenen Lastwiderstand parallelgeschaltet werden. Dieser Summenwiderstand wird als   bezeichnet. An diesem Widerstand liegt die Spannung   an, somit gilt  .

Die betriebliche Stromverstärkung kann mit Umformen der oben genannten Gleichungen berechnet werden:

 

Die betriebliche Spannungsverstärkung kann ebenfalls aus den oberen Gleichungen errechnet werden:

 

In gewisser Literatur wird noch die Vereinfachung   getroffen, somit:

 

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ulrich Tietze, Christoph Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik. 12. Auflage. Springer, 2002, ISBN 978-3-540-42849-7, S. 55–56.