M-Schätzer, auch maximum-likelihood-artige Schätzer stellen eine Klasse von Schätzfunktionen dar, die als Verallgemeinerung der Maximum-Likelihood-Methode angesehen werden können. M-Schätzer sind im Vergleich zu anderen Schätzern wie z. B. den Maximum-Likelihood-Schätzern robuster gegen Ausreißer.

Dieser Artikel behandelt M-Schätzer zur Ermittlung des Lageparameters.

Herleitung durch Verallgemeinerung der Maximum-Likelihood-MethodeBearbeiten

Das Prinzip von Maximum-Likelihood-Schätzern beruht darauf, die Funktion

 

mit entsprechender Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion   in Abhängigkeit von   zu minimieren.

Die Idee bei M-Schätzern ist, die Funktion   durch eine Funktion   zu ersetzen, welche weniger empfindlich auf Ausreißer reagiert. Aufgabe ist es, den Ausdruck

 

in Abhängigkeit von   zu minimieren, bzw. die Gleichung

 

mit

 

zu lösen.

Jede Lösung dieser Gleichung wird M-Schätzer genannt.

Implizite DefinitionBearbeiten

Sei   eine beliebige Verteilungsfunktion und   eine ungerade und monoton wachsende Funktion ungleich 0. Dann ist   definiert als die Lösung   der Gleichung

 

Beachtet werden muss, dass abhängig von der Wahl von   und   es entweder keine, eine oder mehrere Lösungen geben kann. Im Falle einer konkreten Stichprobe wird  , die Lösung von

 

M-Schätzer genannt.

Geeignete Funktionen ρBearbeiten

Im Folgenden sind die   gemäß

 

standardisiert, um Skaleninvarianz zu erreichen.   stellt hierbei einen Streuungschätzer dar, für den meist der MAD (Median Absolute Deviation) verwendet wird.

Methode      
Kleinste-Quadrate-Methode      
Huber-k-Schätzer      
Hampel-Schätzer      
Andrews wave      
Tukey's biweight      

Die Gewichtsfunktionen im folgenden Bild zeigen die Unterschiede zwischen den Schätzern auf: bei Huber-k haben auch extreme Beobachtungen ein geringes Gewicht, beim Hampel-, Andrews wave- und Tukey's biweight-Schätzer wird extremen Beobachtungen das Gewicht Null zugeordnet.

 
Gewichtsfunktionen w(z) für verschiedene M-Schätzer. Die Parameterwerte entsprechen den Standardwerten von SPSS.

RobustheitBearbeiten

Bei geeigneter Wahl von   (gerade, beschränkt und monoton steigend) haben M-Schätzer einen Bruchpunkt von  

Numerische LösungsmethodeBearbeiten

Für viele Funktionen   lässt sich keine explizite Lösung angeben, sie muss daher numerisch berechnet werden. Wie üblich zur Berechnung von Nullstellenproblemen bietet sich auch hier das Newton-Raphson-Verfahren an, und es ergibt sich folgende Iterationsvorschrift, wobei wiederum   :

 

Als geeigneter Startwert   wird meist der Median verwendet. Dieses Iterationsverfahren konvergiert sehr schnell, meist sind zwei bis drei Iterationsschritte ausreichend.

W-SchätzerBearbeiten

W-Schätzer sind M-Schätzern sehr ähnlich und liefern im Normalfall gleiche Ergebnisse. Der einzige Unterschied liegt in der Lösung des Minimierungsproblems. W-Schätzer werden meist bei der robusten Regression eingesetzt.

Es wird die Wichtungsfunktion

 

mit

 

eingeführt, mit deren Hilfe das Minimierungsproblem umgeschrieben werden kann in

 

Einsetzen der Definition von  , ausmultiplizieren und umstellen ergibt schließlich über die Fixpunktgleichung

 

die Iterationsvorschrift

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Robert G. Staudte: Robust estimation and testing. Wiley, New York 1990. ISBN 0-471-85547-2
  • Rand R. Wilcox: Introduction to robust estimation and hypothesis testing. Academic Press, San Diego Cal 1997. ISBN 0-12-751545-3