Lemma von Rasiowa-Sikorski

Das Lemma von Rasiowa-Sikorski, benannt nach den polnischen Mathematikern Roman Sikorski und Helena Rasiowa, ist in der Mengenlehre grundlegend für die Entwicklung der Forcing-Methode. Es sichert die Existenz von Filtern mit gewissen Eigenschaften.

Aussage

Sei $\langle P,\leq _{P}\rangle$ eine Quasiordnung, und ${\mathcal {D}}$ eine höchstens abzählbare Menge von dichten Teilmengen von $P$. Dann gibt es für jedes $p_{0}\in P$ einen Filter $F\subseteq P$ mit den Eigenschaften:

• $p_{0}\in F$
• $D\cap F\neq \emptyset$, für alle $D\in {\mathcal {D}}$.

Filter mit der letzten Eigenschaft werden auch ${\mathcal {D}}$-generisch genannt.

Beweis

Sei $D_{1},D_{2},\dots$ eine Aufzählung der Mengen in ${\mathcal {D}}$ und definiere für $n\geq 0$ rekursiv:

$p_{n+1}:=$"ein Element $p\in D_{n+1}$ mit $p\leq p_{n}$".

Ein solches $p_{n+1}$ existiert aufgrund der Dichtheit von $D_{n+1}$. Dann ist die Menge $F:=\{p\in P\mid \exists n\in \mathbb {N} :p_{n}\leq p\}$ ein derartiger Filter.

Erweiterungen

Es kann gezeigt werden, dass die Aussage im Allgemeinen falsch wird, wenn ${\mathcal {D}}$ die Kardinalität $2^{\aleph _{0}}$ hat. Die Frage, ob das Lemma für Kardinalzahlen $\kappa$ mit $\aleph _{0}<\kappa <2^{\aleph _{0}}$ gilt, führt zu Martins Axiom.

Literatur

• Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.