Langlands-Dual

In der Mathematik ist das Langlands-Dual einer Gruppe in Zusammenhang mit dem Langlands-Programm, einer Reihe von weitreichenden Vermutungen, die die Zahlentheorie und die Darstellungstheorie von Gruppen miteinander verknüpfen, von Bedeutung.

Definition

Sei $G$ eine spaltbare reduktive Gruppe über einem globalen Körper $F$. Das Langlands-Dual ${\widehat {G}}$ ist die spaltbare reduktive Gruppe, deren Gewichte und Wurzeln die Kogewichte und Kowurzeln von $G$ sind.

Langlands-Dual halbeinfacher komplexer Lie-Gruppen

Sei $G$ eine einfache komplexe Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$. Sei ${\widehat {G}}$ das Langlands-Dual mit Lie-Algebra ${\hat {\mathfrak {g}}}$.

Dann ist das Dynkin-Diagramm von ${\hat {\mathfrak {g}}}$ dual zum Dynkin-Diagramm von ${\mathfrak {g}}$. (Das Dynkin-Diagramm von $B_{n}$ ist dual zum Dynkin-Diagramm von $C_{n}$ und umgekehrt. Alle anderen Dynkin-Diagramme sind zu sich selbst dual.)

Für halbeinfache Lie-Gruppen $G_{1},G_{2}$ ist die Lie-Algebra von ${\widehat {G_{1}\times G_{2}}}$ isomorph zu ${\hat {\mathfrak {g}}}_{1}\oplus {\hat {\mathfrak {g}}}_{2}$.

Weiterhin ist das Zentrum von ${\widehat {G}}$ isomorph zur Fundamentalgruppe von $G$ und umgekehrt.

Beispiele

• Das Langlands-Dual von $SL_{n}$ ist $PGL_{n}$.
• Das Langlands-Dual von $SO_{2n+1}$ ist $Sp_{2n}$ und umgekehrt.
• Das Langlands-Dual von $Spin_{2n}$ ist $SO_{2n}/\left\{\pm 1\right\}$.
• Für $G\in \left\{GL_{n},SO_{2n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}\right\}$ ist ${\widehat {G}}=G$.

Motivation

Sei $A$ der Adelering zu $F$. Das Ziel des Langlands-Programms ist es, die Darstellung von $G(A)$ auf $L^{2}(G(F)\backslash G(A),\mathbb {C} )$ in durch Galois-Darstellungen nach ${\widehat {G}}$ parametrisierte Summanden zu zerlegen.

Literatur

• J. W. Cogdell: Dual groups and Langlands functoriality in An introduction to the Langlands program, Birkhäuser, 2004, ISBN 978-0-8176-8226-2