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Laguerre-Polynome (benannt nach Edmond Laguerre) sind spezielle Polynome, die auf dem Intervall ein orthogonales Funktionensystem bilden. Sie sind die Lösungen der laguerreschen Differentialgleichung. Eine wichtige Rolle spielen die Laguerre-Polynome in der theoretischen Physik, insbesondere in der Quantenmechanik.

Inhaltsverzeichnis

Differentialgleichung und PolynomeBearbeiten

Laguerresche DifferentialgleichungBearbeiten

Die laguerresche Differentialgleichung

 ,

ist eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung für   und  

Sie ist ein Spezialfall der Sturm-Liouville-Differentialgleichung

 

Erste PolynomeBearbeiten

 
Die ersten fünf Laguerre-Polynome

Die ersten fünf Laguerre-Polynome lauten

 

In der Physik wird üblicherweise eine Definition verwendet, nach der die Laguerre-Polynome um einen Faktor   größer sind.

EigenschaftenBearbeiten

RekursionsformelnBearbeiten

Das Laguerre-Polynom   lässt sich mit den ersten beiden Polynomen

 
 

über die folgende Rekursionsformel berechnen

 

Des Weiteren gelten folgende Rekursionsformeln:

 ,
 ,
 .

Eine explizite Formel für die Laguerre-Polynome lautet

 .
Beispiel

Es wird das Polynom   für   berechnet. Also

 .

Um dieses Polynom zu erhalten, ist es notwendig, dass Polynom   für   zu bestimmen. Es ergibt sich

 

Somit lautet das Polynom  

 

Rodrigues-FormelBearbeiten

Das  -te Laguerre-Polynom lässt sich mit der Rodrigues-Formel wie folgt darstellen

 

und

 

Aus der ersten Gleichung berechnet sich das Laguerre-Polynom mit der Produktregel für höhere Ableitungen und den Identitäten  ,   sowie   gemäß

 

Aus der zweiten Gleichung ergibt sich das Laguerre-Polynom mit dem binomischen Lehrsatz und der Identität   wie folgt

 

Orthogonale PolynomeBearbeiten

Da die Laguerre-Polynome für   und/oder   divergent sind, bilden sie keinen Prähilbertraum und keinen Hilbertraum. Deshalb wird eine Gewichtsfunktion eingeführt welche die Lösung der Differentialgleichung ungeändert lässt und welche dafür sorgt, dass die Laguerre-Polynome quadratintegrierbar werden. Unter diesen Voraussetzungen bilden die Eigenfunktionen   eine Orthonormalbasis im Hilbertraum   der quadratintegrierbaren Funktionen mit der Gewichtsfunktion  . Demzufolge gilt

 

Hierbei bedeutet   das Kronecker-Delta.

Beweis

Teil 1: Zunächst wird gezeigt, dass die Laguerre-Polynome mit dem Gewicht   orthogonal sind, für   gilt demnach  

Mit dem Sturm-Liouville-Operator   ergeben sich für die Laguerre-Polynome   folgende Ausgangsgleichungen:

(1)  

und

(2)  .

Wird Gleichung (1) von links mit   multipliziert und von Gleichung (2), welche ebenfalls von links mit   multipliziert wird, subtrahiert, so ergibt sich:

 .

Mit der Produktregel für Ableitungen, der Term   bleibt hierbei unberücksichtigt, ergeben sich folgende Darstellungen

 

und

 .

Auf diese Weise wird erkennbar, dass der zweite Term in beiden Ableitungen gleich ist und bei der Differenzenbildung verschwindet, also:

(3)  

wobei   die Wronski-Determinante der Funktionen   bedeutet.

Für den weiteren Beweis ist es erforderlich die Abelsche Identität anzuwenden und daher ist es notwendig das Fundamentalsystem der Laguerrschen Differentialgleichung   zu berechnen. Dazu wird folgende Umformung betrachtet  , so dass eine hebbare Singularität bei   entsteht. Die Fundamentalmatrix lautet dann   und deren Spur ist  . Somit lautet die Abelsche Identität:

 .

Da   und   linear unabhängig sind, ist   – bei genauer Betrachtung ergibt sich   – und das Exponentialintegral ergibt folgendes Resultat:

 

Die Integrationskonstante wird   gewählt und somit lautet Gleichung (3) nach beidseitiger Integration:

 

da die Ableitung der Wronski-Determinante   verschwindet.

Da zudem gilt:

 ,

muss auch gelten:

 .

Diese Bedingung kann nur erfüllt werden, wenn:

 .


Teil 2: Im Folgenden wird gezeigt, dass die Laguerre-Polynome mit dem Gewicht   beschränkt sind,[1] für   gilt demnach  , oder abkürzend  .

Für den Beweis wird einerseits die Reihendarstellung   und anderseits die Rodrigues-Formel   benutzt. Es gilt:

 .

Für   mit   ergibt sich:

 .

Wird nun für   das Laguerre-Polynom zerlegt, so folgt:

 

Durch diese Zerlegung wird der Grad des Polynoms in der Summe um 1 reduziert und in der Folge gilt  , wie in Teil 1 gezeigt. Es verbleibt somit lediglich der zweite Term, der mit partieller Integration berechnet wird, also:

 

Die Stammfunktion wurde mithilfe der Produktregel berechnet und es ergibt sich im Grenzwert  . Dasselbe Resultat wird im Grenzwert   erhalten. Da dieses Ergebnis für alle   partiellen Integrationen gilt, folgt:

 

Mittels weiterer  -facher partieller Integration oder Integrationstabelle folgt   und somit:

 .

Aus Teil 1 und Teil 2 ergibt sich:

 
 

Erzeugende FunktionBearbeiten

Eine erzeugende Funktion für das Laguerre-Polynom lautet

 

Zugeordnete Laguerre-PolynomeBearbeiten

 
Einige zugeordnete Laguerre-Polynome

Die zugeordneten (verallgemeinerten) Laguerre-Polynome hängen mit den gewöhnlichen Laguerre-Polynomen über

 

zusammen. Ihre Rodrigues-Formel lautet

 

Die zugeordneten Laguerre-Polynome erfüllen die zugeordnete Laguerre-Gleichung

 

Die ersten zugeordneten Laguerre-Polynome lauten:

 
 
 
 

Zur Berechnung lässt sich die Rekursionsformel

 

verwenden.

Außerdem gilt:

 
 

Zugeordnete Laguerre-Polynome lassen sich als Wegintegrale ausdrücken:

 

Dabei ist   ein Weg, der den Ursprung einmal im Gegenuhrzeigersinn umrundet und die wesentliche Singularität bei 1 nicht einschließt.

WasserstoffatomBearbeiten

Die Laguerre-Polynome haben eine Anwendung in der Quantenmechanik bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom bzw. im allgemeinen Fall für ein Coulomb-Potential.[2] Mittels der zugeordneten Laguerre-Polynome lässt sich der Radialanteil der Wellenfunktion schreiben als

 

(Normierungskonstante  , charakteristische Länge  , Hauptquantenzahl  , Bahndrehimpulsquantenzahl  ). Die zugeordneten Laguerre-Polynome haben hier also eine entscheidende Rolle. Die normierte Gesamtwellenfunktion ist durch

 

gegeben, mit der Hauptquantenzahl  , der Bahndrehimpulsquantenzahl  , der magnetischen Quantenzahl  , dem bohrschen Radius   und der Kernladungszahl  . Die Funktionen   sind die zugeordneten Laguerre-Polynome,   die Kugelflächenfunktionen.

WeblinksBearbeiten

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. In der Physik wird statt beschränkt üblicherweise der Begriff normiert verwendet.
  2. Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner 2009 (6. Auflage), Seite 352–354, ISBN 978-3-8348-0705-2