Konvexer Körper

geometrischer Körper, der konvex ist und dessen Inhalt nicht leer ist

Ein konvexer Körper ist in der Mathematik ein geometrischer Körper, der konvex ist und dessen Inhalt nicht leer ist.

Der Ikosaederstumpf („Fußballkörper“) ist ein konvexer Körper im dreidimensionalen Raum

DefinitionenBearbeiten

Eine Teilmenge   des  -dimensionalen euklidischen Raums   heißt konvexer Körper, wenn sie konvex, beschränkt und abgeschlossen ist und wenn ihr Inneres nicht leer ist. Die Konvexität besagt dabei, dass alle Punkte der Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten   und   des Körpers ebenfalls Teil des Körpers sind, das heißt, es gilt

 

für alle  . Die anderen drei Bedingungen stellen dann sicher, dass ein konvexer Körper nur eine endliche Ausdehnung besitzt, seine Oberfläche mit einschließt und nicht vollständig in einer Hyperebene enthalten ist.

Ein konvexer Körper wird symmetrisch genannt, wenn für jeden Punkt   des Körpers auch sein am Ursprung gespiegelter Punkt   in dem Körper liegt, also

 

gilt. Ein symmetrischer konvexer Körper ist damit zentralsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

BeispieleBearbeiten

Zu den bekanntesten konvexen Körpern gehören die konvexen Polyeder, beispielsweise die regulären Polyeder im dreidimensionalen Raum, von denen es fünf Arten gibt:

Weitere Beispiele für symmetrische konvexe Körper können durch Normen abgeleitet werden, zum Beispiel

  • die Einheitskugel  ,
  • der Einheitshyperwürfel   und
  • das Einheitskreuzpolytop  ,

wobei   die p-Norm ist. Allgemein besteht sogar eine Bijektion zwischen der Menge der symmetrischen konvexen Körper und der Menge der Normkugeln im   (siehe Minkowski-Funktional).

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Jürgen Wolfart: Einführung in die Zahlentheorie und Algebra. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-9833-3, S. 235–236.