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Konjugation (Mathematik)

mathematische Abbildung
Der grüne Zeiger im oberen Bildteil beschreibt die komplexe Zahl in der komplexen Zahlenebene (Gaußsche Zahlenebene). Die komplexe Konjugierte entsteht durch Spiegelung an der x-Achse (unterer grüner Zeiger). Die blauen Linien sollen die reellen und imaginären Anteile andeuten.

In der Mathematik bezeichnet man als komplexe Konjugation die Abbildung

mit im Körper der komplexen Zahlen. Sie ist ein Körperautomorphismus von , also mit der Addition und Multiplikation verträglich:

.

Die Zahl wird als die zu komplex konjugierte bzw. konjugiert komplexe[1] Zahl oder kurz als Konjugierte bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

AllgemeinesBearbeiten

In der Exponentialform ist die Konjugierte der Zahl

 

die Zahl

 [2]

Sie hat also bei unverändertem Betrag den im Vorzeichen entgegengesetzten Winkel von  . Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse identifizieren. Insbesondere werden bei der Konjugation genau die reellen Zahlen wieder auf sich selbst abgebildet.

SchreibweisenBearbeiten

Eine alternative Schreibweise für   ist  , welche vor allem in der Physik, genauer in der Quantenmechanik, gebräuchlich ist (mit   wird die zu   konjugierte Wellenfunktion bezeichnet). Diese Schreibweise wird auch bei adjungierten Matrizen   gebraucht, für die in der Quantenmechanik wiederum die Schreibweise   gebräuchlich ist.

RechenregelnBearbeiten

Für alle komplexen Zahlen   gilt:[3]

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •   für  
  •   gilt allgemein für jede holomorphe Funktion  , deren Einschränkung auf die reelle Achse reellwertig ist.

AnwendungBearbeiten

Mit Hilfe der Konjugation können die Inverse und auch der Quotient komplexer Zahlen bequem angegeben werden:

  • Zu   mit   ist
 
das multiplikativ Inverse.
  • Für die Division zweier komplexer Zahlen erhalten wir:
 
oder ausführlicher:
 

Komplexe Konjugation bei MatrizenBearbeiten

Die Konjugierte einer Matrix ist die Matrix, deren Komponenten die komplex konjugierten Komponenten der ursprünglichen Matrix sind. Die Transposition einer zuvor komplex konjugierten Matrix wird hermitesche Transposition genannt. Für Matrizen auf dem Euklidischen Raum gilt weiterhin, dass die hermitesch transponierte Matrix identisch ist mit der adjungierten Matrix.

Da die Operation eine einfache Erweiterung der Konjugation von Matrixelementen auf Matrizen ist, wird die komplex Konjugierte einer Matrix oft ebenfalls mit einem Oberstrich gekennzeichnet. Ein einfaches Rechenbeispiel:

 

VerallgemeinerungBearbeiten

In der abstrakten Algebra wird dieser Begriff folgendermaßen erweitert:

Zwei über   algebraische Elemente einer Körpererweiterung   heißen zueinander konjugiert, wenn sie dasselbe Minimalpolynom über   haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von   in   heißen „Konjugierte von   (in  )“. Jeder  -Automorphismus von   (d. h. ein  -Automorphismus, der   punktweise festhält) bildet   auf eine seiner Konjugierten ab.

Analog definiert man Konjugiertheit von Elementen und Idealen bezüglich einer Ringerweiterung.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Gerhard Merziger, Thomas Wirth: Repetitorium der höheren Mathematik. 5. Auflage. Binomi, 2006, ISBN 978-3-923923-33-5, S. 98.
  2. Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Seite 36
  3. T. Arens, F. Hettlich, Ch. Karpfinger, U. Kockelkorn, K. Lichtenegger, H. Stachel: Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag, Seite 125 bis 127