Kofaserung

In der Mathematik sind Kofaserungen ein wichtiger Begriff der algebraischen Topologie.

Definition

Eine stetige Abbildung $i\colon A\to X$ ist eine Kofaserung, wenn sie die Homotopieerweiterungseigenschaft erfüllt, d. h. wenn es zu stetigen Abbildungen

$f\colon X\to Y,h\colon A\times \left[0,1\right]\to Y$

mit

$f\circ i=h\circ i_{0}$

(für die durch $i_{0}(x)=(x,0)$ definierte Inklusive $i_{0}\colon A\to A\times \left[0,1\right]$) immer eine stetige Abbildung

${\overline {h}}\colon X\times \left[0,1\right]\to Y$

mit

${\overline {h}}\circ (i\times id)=h$

und

${\overline {h}}|_{X\times \{0\}}=f\circ \pi _{X}$

(für die natürliche Projektion $\pi _{X}:X\times \{0\}\to X$) gibt.

Falls $i\colon A\to X$ die Inklusion eines Unterraumes $A\subset X$ ist, dann ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass es eine Retraktion

$p\colon X\times \left[0,1\right]\to A\times \left[0,1\right]\cup X\times \left\{0\right\}$

gibt.

Beispiele

• Die Inklusion

$S^{n-1}\to D^{n}$

ist eine Kofaserung.

• Für jeden CW-Komplex $X$ und alle $m\leq n$ ist die Inklusion

$X_{m}\to X_{n}$

des m-Skeletts in das n-Skelett eine Kofaserung. Insbesondere sind CW-Komplexe kofibrant.

Kofaser

Die Homotopie-Kofaser einer (beliebigen) stetigen Abbildung $f\colon A\to X$ ist ihr Abbildungskegel $C_{f}$. Für jede verallgemeinerte Homologietheorie $H_{*}$ hat man eine lange exakte Sequenz

$\ldots \to H_{*+1}(C_{f})\to H_{*}(A)\to H_{*}(X)\to H_{*}(C_{f})\to H_{*-1}(A)\to \ldots$

Falls die Abbildung $f$ eine Kofaserung ist, bezeichnet man die Homotopie-Kofaser $C_{f}$ als Kofaser.

Wenn eine Inklusion $f\colon A\to X$ eine Kofaserung ist, dann ist die Kofaser $C_{f}$ Homotopie-äquivalent zum Quotientenraum $X/A$ und es gilt

$H_{*}(X,A)=H_{*}(C_{f})=H_{*}(X/A)$.

Literatur

• Whitehead, George W.: Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics, 61. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978. ISBN 0-387-90336-4