Kleenesche und positive Hülle

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Die kleenesche Hülle (auch endlicher Abschluss, Kleene-*-Abschluss, Verkettungshülle oder Sternhülle genannt) eines Alphabets oder einer formalen Sprache ist die Menge aller Wörter, die durch beliebige Konkatenation (Verknüpfung) von Symbolen des Alphabets bzw. von Wörtern der Sprache gebildet werden können, wobei das leere Wort inbegriffen ist. Sie ist nach dem US-amerikanischen Mathematiker und Logiker Stephen Cole Kleene benannt. Demgegenüber ist die positive Hülle (auch Kleene-+-Abschluss genannt) eines Alphabets oder einer formalen Sprache die Menge aller Wörter, die aus den Symbolen von beziehungsweise aus Wörtern von gebildet werden können und die nur dann das leere Wort enthält, wenn die positive Hülle auf eine Sprache angewandt wird, die selbst das leere Wort als Element enthält.

Der Operator der kleeneschen Hülle ist der Kleene-Stern“. So ist die Darstellung der kleeneschen Hülle eines Alphabets gleich und einer Sprache gleich . Demgegenüber ist der Operator der positiven Hülle das Pluszeichen“, sodass die positive Hülle eines Alphabets mit und einer Sprache mit dargestellt wird.

In Anlehnung an den Kleene-*-Operator über Sprachen wird der *-Operator bei regulären Ausdrücken ebenfalls Kleene-*-Operator genannt. Die Anzahl verschachtelter Kleene-*-Operatoren bestimmt die Sternhöhe eines regulären Ausdrucks.

DefinitionBearbeiten

Hüllenoperator für AlphabeteBearbeiten

Die kleenesche Hülle   eines Alphabets   ist eine Sprache, die alle Wörter über dem Alphabet enthält. Sie lässt sich mit Hilfe der strukturellen Induktion definieren. Im Induktionsanfang definiert man zunächst, dass das leere Wort   in der kleeneschen Hülle enthalten ist, und im Induktionsschritt wird definiert, dass für jedes Wort  , das Element der kleeneschen Hülle ist, auch die Konkatenationen   für alle Symbole   Elemente der Kleeneschen Hülle sind:

  • Induktionsanfang:  
  • Induktionsschritt:  

Die positive Hülle   eines Alphabets   ist definiert als die kleenesche Hülle dieses Alphabets ohne das leere Wort:

 

Ausgehend von der kleeneschen Hülle lassen sich Teilmengen der Wörter mit fester Länge   definieren.

 

Alternativ kann   als das  -fache kartesische Produkt des Alphabets definiert werden, also

  mit  .

Dann gilt:

  und
 

Hüllenoperator für SprachenBearbeiten

Die kleenesche Hülle   einer Sprache   ist die Vereinigung all ihrer Potenzsprachen (wiederholte Konkatenation der Sprachen):

 

Dabei gilt   und  .

Die positive Hülle   einer Sprache   ist ähnlich definiert, sie ist die Vereinigung aller Potenzen von   größer gleich 1:

 

BeispieleBearbeiten

AlphabeteBearbeiten

Die kleenesche Hülle des Alphabets   enthält das leere Wort  , das Wort   und daher auch das Wort   und so weiter. Damit ist

 .

Für das Alphabet   gilt  ,   und so weiter. Damit ist

 .

SprachenBearbeiten

Die kleenesche Hülle der Sprache   ist die Menge aller Wörter, die sich aus   und   zusammensetzen, sowie dem leeren Wort:

 

Die positive Hülle ist entsprechend:

 

Die kleenesche Hülle der leeren Sprache und der Sprache des leeren Wortes enthält nur das leere Wort:

 

Die positive Hülle der leeren Sprache ist leer, die der Sprache des leeren Wortes enthält nur das leere Wort:

 
 

MerkmaleBearbeiten

  • Die kleenesche Hülle und die positive Hülle (falls letztere das leere Wort enthält) sind jeweils die Trägermenge des Monoids mit der Konkatenation von Wörtern als Operator und dem leeren Wort   als neutralem Element. So bildet die kleenesche Hülle den freien Monoid über ein Alphabet. Die kleenesche Hülle sowie die positive Hülle sind damit ebenfalls abgeschlossen gegen die Konkatenation.
  • Die kleenesche und die positive Hülle sind für alle Sprachen, die mindestens ein nicht-leeres Wort enthalten, abzählbar unendlich:
 
 
  • Wenn eine Sprache   das leere Wort enthält, sind die kleenesche und die positive Hülle von   identisch; die Umkehrung gilt ebenfalls:
 

VerallgemeinerungenBearbeiten

Die abzählbar unendlichen Folgen von Zeichen aus den Alphabet   werden mit   bezeichnet, siehe:   =  .
  bezeichnet die gesamte Menge   der endlichen Sequenzen und unendlichen Folgen von Zeichen aus   .

LiteraturBearbeiten

  • John E. Hopcroft, Jeffrey D. Ullman: Einführung in die Automatentheorie, formale Sprachen und Komplexitätstheorie. 3. korrigierte Auflage. Addison Wesley, Bonn u. a. 1994, ISBN 3-89319-744-3.
  • Katrin Erk, Lutz Priese: Theoretische Informatik. Eine umfassende Einführung. 2. erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42624-8, S. 27–29.