Klassifikation (Mathematik)

Ordnung mathematischer Objekte einer Gruppe, eines Koerpers oder Raumes

In vielen mathematischen Disziplinen ist eines der großen Ziele, eine Klassifikation der im jeweiligen Teilbereich studierten Objekte zu erreichen. In vielen Bereichen ist auch die moderne Forschung noch weit von einer vollständigen Klassifikation entfernt, dennoch sind Ansätze zu einer partiellen Klassifikation eine der wesentlichen Quellen neuer Begriffe und Konzepte.

Je nach Art der Objekte gibt es unterschiedliche Definitionen dafür, welche Objekte für die Zwecke der Klassifikation als "nicht wesentlich verschieden" (isomorph) angesehen werden sollen.

Klassifikation durch AufzählungBearbeiten

Diese Art der Klassifikation besteht in der Angabe einer vollständigen Liste der Isomorphieklassen. Beispiele sind:

Klassifikation durch InvariantenBearbeiten

Eine Invariante ist eine Eigenschaft eines Objektes, die für alle Objekte einer Isomorphieklasse gleich ist.[1]:229 Ein vollständiges System von Invarianten ist die Angabe mehrerer Eigenschaften, so dass zwei Objekte, die in allen diesen Eigenschaften übereinstimmen, isomorph sind. Beispiele sind:

Klassifikation durch RepräsentantenBearbeiten

Bei dieser Art der Klassifikation wird für jedes Element x einer Menge M ein bezüglich einer Äquivalenzrelation ~ äquivalenter Repräsentant x0 ∈ M von x angegeben.[1]:232 Die Repräsentanten werden auch Normalform genannt, und für jedes x ∈ M muss es genau eine solche geben[1]:230. Durch die Äquivalenzrelation ~ wird die Menge M in Äquivalenzklassen genannte, einander elementfremde Teilmengen [x] := {y | x~y, y ∈ M} zerlegt,[1]:227 deren Elemente alle einander äquivalent sind und damit dieselbe Normalform besitzen. Wenn M0 ⊂ M die Menge der Repräsentanten nach ~ ist, dann sind die Äquivalenzklassen durch { [x] | x ∈ M0} gegeben.

Beispielsweise ist der gekürzte Bruch einer rationalen Zahl die Normalform der Zahl. Der Bruch und die Zahl sind äquivalent bezüglich ihrer Zahlenwerte:   und   haben beide die Normalform   und damit den gleichen Zahlenwert. Der Stern-Brocot-Baum enthält alle diese Normalformen.[2]

Klassifikation durch Äquivalenz von KategorienBearbeiten

Eine schwache Form der Klassifikation wird oft durch eine Äquivalenz von Kategorien zu einer einfacheren Kategorie erreicht. Beispiele sind:

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  1. a b c d K. Jänich: Lineare Algebra. 11. Auflage. Springer-Lehrbuch, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-75502-9, doi:10.1007/978-3-540-75502-9.
  2. J.-P. Delahaye: Die verkannte Schwester der Fibonacci-Folge. In: Spektrum der Wissenschaft. Mai 2015, ISSN 0170-2971, S. 64–69.