Kähler-hyperbolische Mannigfaltigkeit

In der komplexen Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, heißen Kähler-Mannigfaltigkeiten $(M,\omega )$ Kähler-hyperbolisch, wenn die hochgehobene Kählerform ${\widetilde {\omega }}$ der universellen Überlagerung ${\widetilde {M}}$ das Differential einer beschränkten Differentialform ist.

Beispiele

Satz (Gromow): Eine geschlossene Kähler-Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist Kähler-hyperbolisch. Jede Kähler-Mannigfaltigkeit, die homotopieäquivalent zu einer geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist, ist Kähler-hyperbolisch.

Weitere hinreichende Bedingungen für Kähler-Hyperbolizität von Kähler-Mannigfaltigkeiten:

• $\pi _{1}M$ ist hyperbolisch und $\pi _{2}M=0$
• $M$ ist Untermannigfaltigkeit einer Kähler-hyperbolischen Mannigfaltigkeit
• ${\widetilde {M}}$ ist ein Hermitescher symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ ohne euklidischen Faktor

McMullen bewies, dass der Teichmüller-Raum Kähler-hyperbolisch ist.

Anwendungen

Gromow bewies, dass für Kähler-hyperbolische Mannigfaltigkeiten die Hopf-Vermutung richtig ist. Diese besagt, dass für Riemannsche 2n-Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung die Ungleichung

$(-1)^{n}\chi (M)>0$

gilt. Hierbei bezeichnet $\chi (M)$ die Euler-Charakteristik.

Andere Begriffe von Hyperbolizität

Jede Kähler-hyperbolische Mannigfaltigkeit $X$ ist Kobayashi-hyperbolisch, d. h. jede holomorphe Abbildung $\mathbb {C} \to X$ ist konstant.

Literatur

• Werner Ballmann: Lectures on Kähler manifolds. (= ESI Lectures in Mathematics and Physics). European Mathematical Society (EMS), Zürich 2006, ISBN 3-03719-025-6, Kapitel 8. (people.mpim-bonn.mpg.de, pdf)
• M. Gromov: Kähler hyperbolicity and L²-Hodge theory. In: J. Differential Geom. Band 33, Nr. 1, 1991, S. 263–292. (projecteuclid.org, pdf)