Hauptmenü öffnen

Die Heisenbergsche Bewegungsgleichung, auch Heisenberg-Bewegungsgleichung oder Heisenberg-Gleichung, bestimmt die zeitliche Entwicklung eines quantenmechanischen Systems in der Matrixdarstellung. Sie wurde von Werner Heisenberg in den 1920er Jahren entwickelt und ist Teil des Heisenberg-Bildes der Quantenmechanik. Der wesentliche Unterschied zur Formulierung der Quantenmechanik über die Schrödingergleichung ist, dass in diesem Fall die Zustände die zeitliche Dynamik tragen und die Operatoren konstant sind, hingegen in der Heisenberg-Darstellung die Operatoren die zeitliche Dynamik tragen, während der Zustandsvektor, auf den die Operatoren wirken, zeitlich konstant ist. Daher ist die heisenbergsche Formulierung näher an der klassischen Mechanik, was sich auch durch die formale Ähnlichkeit der klassischen Bewegungsgleichungen, ausgedrückt mit Hilfe der Poisson-Klammern, zeigt.

Die Heisenbergsche Bewegungsgleichung ersetzt im Heisenberg-Bild der Quantenmechanik die Schrödinger-Gleichung des Schrödinger-Bildes.

Die Bewegungsgleichung selbst lautet:

wobei der Hamilton-Operator des Systems im Heisenberg-Bild und ein Kommutator ist. Zur Kennzeichnung des Bildes wird jeweils der Index "H" für das Heisenbergbild und "S" für das Schrödingerbild eingefügt.

Wenn eine Observable im Schrödingerbild nicht explizit zeitabhängig ist und zudem mit dem Hamiltonoperator vertauscht, sind die Eigenwerte des Operators eine Erhaltungsgröße.

Bewegungsgleichung für ErwartungswerteBearbeiten

Da im Heisenbergbild die Zustände zeitunabhängig sind  

 

kann man sofort die Heisenberggleichung der Erwartungswerte angeben:

 

Aufgrund der Invarianz des Skalarprodukts unter Bildwechsel (die Erwartungswerte eines Operators sind in allen Bildern gleich), kann man die Gleichung bildunabhängig schreiben:

 

Diese Gleichung ist als Ehrenfest-Theorem bekannt.

Äquivalenz zwischen Schrödinger- und Heisenberg-GleichungBearbeiten

Im Folgenden wird ausgehend von der Schrödingergleichung die Heisenbergsche Bewegungsgleichung abgeleitet. Die umgekehrte Richtung ist ebenfalls möglich.

Der Darstellungswechsel eines Operators vom Schrödinger- ins Heisenbergbild geschieht über

 

wobei   der Zeitentwicklungsoperator und   sein adjungierter Operator ist.

Durch Anwenden des Zeitentwicklungsoperators   auf einen Zustandsvektor im Schrödingerbild zum Zeitpunkt   erhält man den Zustandsvektor zum Zeitpunkt  . Im Folgenden wird stets die abkürzende Schreibweise   verwendet:

 

Einsetzen der zeitabhängigen Wellenfunktion in die Schrödingergleichung   liefert:

 

Man bekommt eine zur Schrödingergleichung äquivalente Operatorgleichung:

 

Vom Operator  

 

wird die Zeitableitung gebildet, wobei die Produktregel angewandt wird:

 

Nun werden obige Operatorgleichungen und deren adjungierte

    und    

eingesetzt:

 

Zusammenfassen:

 

Nun schiebt man geschickt eine   zwischen   und zwischen   ein:

 

Mit dem Kommutator lässt sich die Heisenbergsche Bewegungsgleichung kompakt schreiben:

 

LiteraturBearbeiten