Gromovs Satz über Betti-Zahlen

In der Mathematik ist Gromovs Satz über Betti-Zahlen ein Lehrsatz der globalen riemannschen Geometrie von Michail Leonidowitsch Gromow.

Satz

Sei $M$ eine $n$-dimensionale vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit nichtnegativer Schnittkrümmung. Dann gilt für die Betti-Zahlen (mit Koeffizienten in einem beliebigen Körper $F$):

$\sum _{i=0}^{n}b_{i}(M;F)\leq 10^{10n^{4}}$.

(Gromovs ursprüngliche Abschätzung war doppelt-exponentiell, die obige Verbesserung geht auf Abresch zurück. Die vermutete optimale rechte Seite ist $2^{n}$.)

Allgemeiner beweist Gromov, dass für eine $n$-dimensionale geschlossene riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung $K\geq -\kappa ^{2}$ und Durchmesser $D$ die Ungleichung

$\sum _{i=0}^{n}b_{i}(M;F)\leq C^{1+\kappa D}$

für eine Konstante $C$ gilt.

Weblinks

• Kapitel 2 in Wilking: Nonnegatively and positively curved manifolds
• Weiss: Curvature and finite domination