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Die Grüblerschen Gleichungen wurden 1917 und 1918 fast gleichzeitig und unabhängig voneinander sowohl von Martin Fürchtegott Grübler (1851–1935) als auch von Maurice d’Ocagne aufgestellt.[1][2] Sie werden in der Technik verwendet, um die Beweglichkeit von Getrieben und deren Laufgrad zu ermitteln. Dabei werden die Beweglichkeiten der die Getriebeteile verbindenden Gelenke im Verhältnis zur Anzahl der Glieder betrachtet. Zu unterscheiden ist, ob diese Bewegungen in der Ebene (ebene Getriebe), auf einer gekrümmten (sphärischen) Fläche (sphärische Getriebe) oder beliebig im Raum (räumliche Getriebe) stattfinden.[3]

Die GleichungBearbeiten

Die allgemeine Form der Grüblerschen Gleichung lautet:

 [3]

dabei steht

  • F: Laufgrad
  • T: Typ des Getriebes (T=6 für räumliches, T=3 für sphärisches oder ebenes Getriebe)
  • n: Anzahl der Getriebeglieder (inklusive des Gestells)[4]
  • g: Anzahl der Gelenke
  • bi: Beweglichkeit eines einzelnen Gelenks i (bi = 1, 2, …).

Räumliches GetriebeBearbeiten

T = 6[3]

 

Ebenes und sphärisches GetriebeBearbeiten

T = 3[3]

 

Dabei steht

  • c: Anzahl der Gelenke mit Beweglichkeit bi = 1
  • d: Anzahl der Gelenke mit Beweglichkeit bi = 2 (z. B. Wälzen und Gleiten an den Berührungsstellen von Stirnradflanken oder kombiniertes Schub-Drehlager).

ErgebnisBearbeiten

Der Laufgrad F des Getriebes muss ≥1 sein, damit sich das Getriebe bewegen kann:

  • bei F = 1 wird das Getriebe als zwangläufig bezeichnet. Dies entspricht der üblichen Verwendung, bei der ein Glied bewegt (angetrieben) wird und die anderen Glieder dem zwangsläufig folgen.
  • bei F = 2 benötigt das Getriebe zwei Antriebe, die auf zwei verschiedene Glieder wirken, um es definiert zu bewegen.

Die Zwangläufigkeit] eines Getriebes (F = 1) wird mit der sogenannten Grüblerschen Zwanglaufbedingung geprüft – einer entsprechenden Umstellung der Grüblerschen Gleichung. Für ebene Getriebe, die ausschließlich Gelenke mit bi = 1 haben (d = 0 und c = g), lautet die Bedingung:

 [5]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Friedrich Schmelz, Erich Aucktor: Gelenke und Gelenkwellen: Berechnung, Gestaltung, Anwendungen, 1988, Springer-Verlag, ISBN 3540417591
  2. Martin Fürchtegott Grübler: Getriebelehre. Eine Theorie des Zwanglaufes und der ebenen Mechanismen. VDM Verlag, 2007, ISBN 3836404265
  3. a b c d Denis Jung: Formelsammlung Getriebelehre, Seite 5 (PDF; 907 KB (Memento vom 14. Dezember 2009 auf WebCite))
  4. Manfred Husty, Adolf Karger, Hans Sachs, Waldemar Steinhilper: Kinematik und Robotik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1997, ISBN 978-3-642-63822-0, S. 281.
  5. Siegfried Hildebrand: Feinmechanische Bauelemente, Hanser 1968, Seite 628