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Das harmonische Mittel ist ein Mittelwert einer Menge von Zahlen. Es war schon Pythagoras bekannt. Es ist der Spezialfall des Hölder-Mittels mit Parameter −1.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Das harmonische Mittel der Zahlen   ist als

 

definiert. Der Kehrwert des harmonischen Mittels ist

 

und somit das arithmetische Mittel der Kehrwerte.

Mit der Formel ist das harmonische Mittel zunächst nur für von null verschiedene Zahlen   definiert. Geht aber einer der Werte   gegen null, so existiert der Grenzwert des harmonischen Mittels und ist ebenfalls gleich null. Daher ist es sinnvoll, das harmonische Mittel als null zu definieren, wenn mindestens eine der zu mittelnden Größen gleich null ist.

EigenschaftenBearbeiten

Für zwei Werte   und   ergibt sich

 

mit dem arithmetischen Mittel   und dem geometrischen Mittel  .

Für nichtnegative   gilt

 

BeispielBearbeiten

Für das harmonische Mittel von   und   gilt

 .

Verwendet man die Formel aus dem Abschnitt Eigenschaften, so gilt

 .

Gewichtetes harmonisches MittelBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sind den   positive Gewichte   zugeordnet, so ist das gewichtete harmonische Mittel wie folgt definiert:

 

Sind alle   gleich, so erhält man das gewöhnliche harmonische Mittel.

BeispielBearbeiten

Allgemein gilt: Benötigt man für die Teilstrecke   die Zeit   (also Durchschnittsgeschwindigkeit  ) und für die Teilstrecke   die Zeit   (also Durchschnittsgeschwindigkeit  ), so gilt für die Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesamte Strecke

 

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also das mit den Wegstrecken gewichtete harmonische Mittel der Teilgeschwindigkeiten oder das mit der benötigten Zeit gewichtete arithmetische Mittel der Teilgeschwindigkeiten.

Fährt man eine Stunde mit 50 km/h und dann eine Stunde mit 100 km/h, so legt man insgesamt 150 km in 2 Stunden zurück; die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 75 km/h, also das arithmetische Mittel von 50 und 100. Bezieht man sich hingegen nicht auf die benötigte Zeit, sondern auf die durchfahrene Strecke, so wird die Durchschnittsgeschwindigkeit durch das harmonische Mittel beschrieben: Fährt man 100 km mit 50 km/h und dann 100 km mit 100 km/h, so legt man 200 km in 3 Stunden zurück, die Durchschnittsgeschwindigkeit ist 66,67 km/h, also das harmonische Mittel von 50 und 100.

 

WeblinksBearbeiten