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Mit dem Gesetz von Hagen-Poiseuille [poaː'zœj][1] (nach Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen, 1797–1884 und Jean Léonard Marie Poiseuille, 1797–1869) wird der Volumenstrom – d. h. das geflossene Volumen V pro Zeiteinheit – bei einer laminaren stationären Strömung eines homogenen Newton’schen Fluids durch ein Rohr (Kapillare) mit dem Radius und der Länge beschrieben.

Inhaltsverzeichnis

FormulierungBearbeiten

Das Gesetz lautet

 

mit

Variable Bedeutung SI-Einheit
  Volumenstrom durch das Rohr  
  Innenradius des Rohres m
  Länge des Rohres m
  dynamische Viskosität der strömenden Flüssigkeit Pa·s
  Druckdifferenz zwischen Anfang und Ende des Rohres Pa
z Flussrichtung
 
Laminares Strömungsprofil

Dieses Gesetz folgt direkt aus dem stationären, parabolischen Strömungsprofil durch ein Rohr, das aus den Navier-Stokes-Gleichungen hergeleitet werden kann -- oder direkt aus der Definition der Viskosität, siehe unten. Bemerkenswert ist die Abhängigkeit des Volumendurchflusses von der vierten Potenz des Radius des Rohres. Dadurch hängt der Strömungswiderstand sehr stark vom Radius des Rohres ab, so würde beispielsweise eine Verringerung des Rohrdurchmessers auf die Hälfte den Strömungswiderstand auf das 16fache erhöhen.

Das Gesetz gilt nur für laminare Strömungen. Bei größerem Durchfluss einer Rohrleitung, verbunden mit höheren Strömungsgeschwindigkeiten bzw. größeren Abmessungen, kommt es zu turbulenten Strömungen mit wesentlich höherem Strömungswiderstand als nach Hagen-Poiseuille zu erwarten wäre. Die konkreten Verhältnisse turbulenter Strömungen werden u. a. mit den Formeln von Blasius, Nikuradse bzw. Prandtl-Colebrook beschrieben.

In sehr dünnen Röhren, in denen die Grenzschicht maßgeblich das Strömungsprofil beeinflusst und nicht sehr klein gegenüber dem Radius ist, lässt sich dieses stark vereinfachte mathematische Modell der Strömung ebenfalls nicht anwenden.

Für kompressible Fluide (wie z. B. Gase) gilt ein modifiziertes Gesetz.

HerleitungBearbeiten

Hier ist die Überlegung, aus der das Hagen-Poiseuille-Gesetz und das ihr zugrundeliegende Strömungsprofil folgt: Bezeichne   die Strömungsgeschwindigkeit an der Stelle   eines kreisförmigen Rohres mit Radius  . Betrachten wir einen Hohlzylinder der Länge   und der Wanddicke   zwischen den Radien   und  . Der Zylinder solle sich im Gleichgewichtszustand befinden, also keine Beschleunigung erfahren, daher ist die Summe aller auf die Flächen wirkenden Kräfte gleich null. Aus der Reibung auf die Außen- bzw. Innenfläche   bzw.   mit dem dynamische Viskosität   sowie der Druckdifferenz   auf die Hohlzylinder-Grundfläche   ergibt sich die Kraftgleichung:

 .

Dabei ist   die Reibung mit dem nach außen benachbarten Strömungszylinder, der den Radius   hat. Die Geschwindigkeitsdifferenz   verteilt sich auf die Schichtdicke   und wirkt entlang der Außenfläche  . Analog gilt dies für die Reibung an der Innenfläche mit dem nach innen benachbarten Strömungszylinder.

Im Grenzübergang   ergibt sich eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für  :

 

Die Lösung muss die Randbedingung   erfüllen und ist dadurch eindeutig bestimmt:

 .

Dies ist genau das genannte quadratische Strömungsprofil. Durch Integration folgt dann das Gesetz von Hagen-Poiseuille:

 .

Nicht kreisförmige KanalquerschnitteBearbeiten

Rechteck-KanalBearbeiten

Für einen Rechteck-Kanal mit den Abmessungen   und   lässt sich dieses Gesetz in der folgenden Form angeben:

 

Hierbei ist

 

Die Abweichung vom exakten Wert bei Berechnung von K in erster Näherung (n=1) beträgt maximal 0,67 %, in zweiter Näherung 0,06 %, in dritter Näherung 0,01 %.

Einige Beispielwerte, berechnet in dritter Näherung:

  0 1/10 1/5 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1
  1 0,9370 0,8740 0,8425 0,7900 0,6861 0,5873 0,5414 0,4218

Formeln für weitere Querschnittsformen werden in vielen Lehrbüchern[2] hergeleitet.

Elliptischer QuerschnittBearbeiten

Für elliptische Querschnitte ergibt sich

 

wobei   und   die beiden Halbachsen der Ellipse repräsentieren.

Man beachte den Spezialfall  ,

 

bei dem sich die Gleichung auf die Gleichung für zylindrische Röhren reduziert.

AnwendungenBearbeiten

Im Gültigkeitsbereich des Gesetzes bewirkt etwa die Verengung eines runden Leitungsradius um 10 % einen Durchsatzrückgang um  . Um den ursprünglichen Durchfluss bei verkleinertem Radius wieder zu erreichen, muss somit die Druckdifferenz um über 52 % steigen.

Außerdem bildet das Gesetz von Hagen-Poiseuille die Grundlage einer Vielzahl von Modellgleichungen bei der Durchströmung von Schüttgütern.

Eingeschränkte Gültigkeit im BlutBearbeiten

Das Gesetz von Hagen-Poiseuille bezieht sich auf Newtonsche Flüssigkeiten. Bei Newtonschen Flüssigkeiten ist die Viskosität keine Funktion der Scherrate. Ein Beispiel für eine solche Flüssigkeit ist Wasser. Das Blutplasma ist auch eine Newtonsche Flüssigkeit, nicht aber das Blut: Es ist eine inhomogene Suspension aus verschiedenen Zellen in Plasma. Hier ist die Viskosität von der Höhe der Scherrate (also der Strömungsgeschwindigkeit) abhängig. Weiterhin spielt auch die Deformierbarkeit der Erythrozyten eine Rolle. Diese können sich beispielsweise „geldrollenartig“ in dünnen Gefäßen aggregieren. Im Übrigen handelt es sich hier eher nicht um laminare, sondern turbulente Strömungszustände.

Dieses spezielle Fachgebiet der Rheologie des Blutes wird als Hämorheologie (englisch hemorheology) bezeichnet.

LiteraturBearbeiten

  • Wolfgang Beitz; Karl-Heinrich Grote (Hrsg.): Dubbel. Taschenbuch für den Maschinenbau. 20. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2001, ISBN 3-540-67777-1
  • James P. Hartnett; Milivoje Kostic: Heat Transfer to Newtonian and Non-Newtonian Fluids in Rectangular Ducts. In: Advances in Heat Transfer, Volume 19, 1989
  • Rainer Klinke (Hrsg.): Physiologie. Zahlreiche Tabellen. 5. Auflage. Georg Thieme Verlag, Stuttgart / New York 2005, ISBN 3-13-796005-3

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Aussprache von Poiseuille: Wie man Poiseuille auf Französisch ausspricht
  2. Henrik Bruus: Theoretical Microfluidics. Oxford University Press, 2008