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Gesetz der Nachfrage

Theorem in der Volkswirtschaftslehre

Als Gesetz der Nachfrage (englisch law of demand) bezeichnet man in der Volkswirtschaftslehre ein häufig benutztes Theorem, das in der einfachsten Version besagt, dass die Nachfrage nach einem normalen Gut abnimmt, wenn sich sein Preis erhöht. Dabei bezeichnet man ein Gut als normal, wenn eine Erhöhung des Einkommens dazu führt, dass mehr von dem Gut nachgefragt wird.

Formale Definition und HerleitungBearbeiten

TheoremBearbeiten

Sei   die marshallsche Nachfrage nach einem Gut   in Abhängigkeit von einem Preisvektor   und dem individuellen Einkommen  . (Die marshallsche Nachfrage resultiert aus dem Nutzenmaximierungsproblem des Haushalts und gibt die Gütermenge – in Abhängigkeit von den Güterpreisen – an, die erforderlich ist, um mit einem gegebenen Einkommen   ein möglichst hohes Nutzenniveau zu erreichen.)

Gesetz der Nachfrage[1]: Sei i ein normales Gut, das heißt sei  , dann gilt:

 

BeweisBearbeiten

Das Theorem folgt direkt aus der Slutsky-Gleichung, wonach

 

(Für eine Erläuterung wird auf den Artikel Slutsky-Gleichung verwiesen.) Im Eigenpreisfall i=j geht aus dieser unmittelbar hervor, dass der Einkommenseffekt negativ ist (gemäß der Annahme von Normalität). Der Substitutionseffekt ist jedoch ebenfalls negativ, da die Hicks’sche Nachfrage nach einem Gut stets im Preis dieses Gutes fällt. Dies folgt aus Shephards Lemma[2]: Wegen   auch  . Da die Ausgabenfunktion   aber konkav ist, ist diese partielle Ableitung  .

Folglich ist der Gesamteffekt ebenfalls negativ, was zu zeigen war.

Gesetz der kompensierten NachfrageBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Gesetz der kompensierten Nachfrage[3]: Betrachte zwei beliebige Preistupel   und  , wobei   aus   durch eine Slutsky-kompensierte Preisänderung hervorgegangen ist. Dann erfüllt die marshallsche Nachfragefunktion   das Gesetz der kompensierten Nachfrage genau dann, wenn gilt:

 .

Zusammenhang zur Theorie offenbarter PräferenzenBearbeiten

VorüberlegungBearbeiten

Man überlege sich, dass in der Ausgangssituation ein Nachfrager gegeben die Güterpreise   und das Haushaltseinkommen   ein optimales Güterbundel   wählt. Nun falle der Preis von Gut i von   auf  , woraus ein neues Preistupel   resultiert. Zur gleichen Zeit modifiziert ein allwissender Planer das Haushaltseinkommen so, dass für den Haushalt das beste vor der Preisänderung erreichbare Güterbündel,  , auch nach der Preissenkung gerade noch so bezahlbar ist (Slutsky-Kompensation).

Annahmegemäß ist der Nutzen aus   also gleich dem aus  . Da der Haushalt beim Preissystem   das Güterbündel   und nicht   gewählt hat, muss bei Gültigkeit des schwachen Axioms offenbarter Präferenzen (weak axiom of revealed preferences – WARP) das Güterbündel   zu Preisen   mindestens so teuer gewesen sein als  , da es für den Haushalt sonst schon im Zeitpunkt 0 strikt besser gewesen wäre,   zu wählen.[4] Formal:

1)  .

Umgekehrt lässt sich mittels WARP auch analog einsehen, dass beim Preissystem   der Haushalt wenigstens einen schwachen Anreiz haben muss, das Güterbündel   dem Bündel   vorzuziehen – sonst hätte er nicht   gewählt. Das Güterbündel   kann also zu Preisen   nicht teurer sein als das Bündel  , das heißt

2)  .

Addieren von 1) und 2) liefert nun sofort

 ,

was zu zeigen war.

Äquivalenz zu WARPBearbeiten

In der Vorüberlegung wird gezeigt, dass das schwache Axiom offenbarter Präferenzen die Gültigkeit des Gesetzes der kompensierten Nachfrage impliziert. Es lässt sich zeigen, dass hierzu auch die Rückrichtung gilt.

Äquivalenz von WARP und dem Gesetz der kompensierten Nachfrage[5]: Sei die Marshallsche Nachfragefunktion   homogen vom Grade null und genüge sie dem Walras-Gesetz. Dann genügt   dem schwachen Axiom offenbarter Präferenzen genau dann (und nur dann), wenn das Gesetz der kompensierten Nachfrage erfüllt ist.

LiteraturBearbeiten

  • Richard Cornes: Duality and modern economics. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1992, ISBN 0-521-33601-5.
  • Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
  • Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.
  • Nolan H. Miller: Notes on Microeconomic Theory. online (Memento vom 15. Dezember 2011 im Internet Archive) (PDF; 1 MB), S. 65, abgerufen am 2. Januar 2015. [Hier S. 23 ff.]
  • Hal Varian: Intermediate Microeconomics. A Modern Approach. 8. Aufl. W. W. Norton, New York und London 2010, ISBN 978-0-393-93424-3.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Hal Varian, Intermediate Microeconomics. A Modern Approach. 8. Aufl., 2010, S. 147; Geoffrey A. Jehle/Philip J. Reny, Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl., 2011, S. 56.
  2. Vgl. nur Geoffrey A. Jehle/Philip J. Reny, Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl., 2011, S. 53–56.
  3. Richard Cornes, Duality and modern economics, 1992, S. 64 f.; Andreu Mas-Colell/Michael Whinston/Jerry Green, Microeconomic Theory, 1995, S. 28–30.
  4. Die nachfolgende Darstellung der Herleitung folgt Cornes 1992, S. 64.
  5. Vgl., auch zum Beweis, Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 30 f.