Hauptmenü öffnen

George Boole

englischer Mathematiker und Philosoph

George Boole [ˌdʒɔːdʒ ˈbuːl] (* 2. November 1815 in Lincoln, England; † 8. Dezember 1864 in Ballintemple, in der Grafschaft Cork, Irland) war ein englischer Mathematiker (Autodidakt), Logiker und Philosoph.

George Boole (um 1860)

LebenBearbeiten

George Boole wurde in Lincolnshire geboren. Er hatte außer der Grundschulbildung keine weiterführenden Schulen besucht. Er brachte sich autodidaktisch Altgriechisch, Französisch und Deutsch bei. Mit 16 Jahren wurde er Hilfslehrer, um seine Familie finanziell zu unterstützen. Im Alter von 19 Jahren gründete Boole seine eigene Schule. Auf Grund seiner wissenschaftlichen Arbeiten wurde er 1848 Mathematikprofessor am Queens College in Cork (Irland), obwohl er selbst keine Universität besucht hatte. Dort lernte er Mary Everest kennen, seine spätere Frau. Sie war mathematisch interessiert, arbeitete als Bibliothekarin und setzte sich mit der Didaktik der Mathematik auseinander. Ihr Onkel George Everest war Namensgeber des höchsten Bergs der Welt. George und Mary hatten fünf Töchter, darunter die Autorin und Musikerin Ethel Lilian Voynich (1864–1960) und Alicia Boole Stott (1860–1940), der es als Mathematikerin ohne formale akademische Bildung gelang, die regulären Polyeder in vier Dimensionen zu klassifizieren. Von der Royal Society wurde Boole 1844 mit der Royal Medal ausgezeichnet. 1847 publizierte er sein epochemachendes Logikwerk The Mathematical Analysis of Logic und 1854 sein ausführlicheres Buch An Investigation of the Laws of Thought. 1857 wurde er zum Mitglied („Fellow“) der Royal Society gewählt.

 
Booles Grabstein auf dem Friedhof von St Michael’s, Blackrock, Irland
 
George Booles Haus, Bachelor's Quay, Cork

Früher TodBearbeiten

George Boole starb am 8. Dezember 1864 mit nur 49 Jahren an einer fiebrigen Erkältung. Auf seinem Fußweg ging er zwei Meilen weit im strömenden Regen zur Universität, wo er anschließend seine Vorlesung in durchnässten Kleidern hielt. Er erkältete sich, bekam hohes Fieber und erholte sich davon später nicht mehr. Seine Frau war Anhängerin der damaligen Naturheilkunde, die „Gleiches mit Gleichem“ zu behandeln pflegte. Sie soll den an der fiebrigen Erkältung erkrankten Gatten im Bett eimerweise mit kaltem Wasser übergossen haben. Als seine Todesursache wurde Pleuraerguss angegeben.[1]

HauptwerkBearbeiten

Boole schuf in seiner Schrift The Mathematical Analysis of Logic von 1847 den ersten algebraischen Logikkalkül und begründete damit die moderne mathematische Logik, die sich von der bis dato üblichen Logik durch eine konsequente Formalisierung abhebt. Er formalisierte die klassische Logik und Aussagenlogik und entwickelte ein Entscheidungsverfahren für die wahren Formeln über eine disjunktive Normalform.[2][3] Boole nahm damit – da aus der Entscheidbarkeit der klassischen Logik ihre Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit folgt – schon gut 70 Jahre vor Hilberts Programm für ein zentrales Logikgebiet die Lösung der von David Hilbert gestellten Probleme vorweg. Als Verallgemeinerungen von Booles Logikkalkül wurden später die sogenannte boolesche Algebra und der boolesche Ring nach ihm benannt.

Booles OriginalkalkülBearbeiten

Boole benutzte die gewöhnliche Algebra, die heute als Potenzreihen-Ring über dem Körper der reellen Zahlen präzisiert wird.[4] In sie bettete er die klassische Logik ein, indem er die Konjunktion UND als Multiplikation und die Negation als Differenz zur   definierte und für logische Terme die Idempotenz forderte, das heißt:[5]

  UND  
NICHT  
  für alle logische Terme  

Es handelt sich dabei um eine Einbettung, in der nicht alle Terme einen logischen Sinn haben; beispielsweise ist wegen   die Summe   logisch sinnlos, weshalb Boole   uninterpretierbar nannte.[6] Die Addition ist also im logischen Bereich nur eine partielle Operation, weshalb er bei den logischen Termen und Operatoren von elective symbols, elective functions, elective equations sprach.[7] Dieser Sachverhalt wurde von seinen Nachfolgern kritisiert.[8][9] Seine Methode ist aber völlig korrekt. Denn der logische Bereich ist operativ abgeschlossen: Es ist die von idempotenten Unbestimmten, der 1, der Multiplikation und der Negation erzeugte Struktur, da   idempotent ist und mit   und   auch   und   idempotent sind, wie man leicht nachrechnet. Damit wirken auch alle definitorisch ableitbaren logischen Operatoren in diesem Bereich, insbesondere die einschließende und die ausschließende Disjunktion:[10]

  ODER  
ENTWEDER   ODER  

Beide Definitionen gehören zum logischen Bereich:

 
 

Seine ODER-Definition liefert offenbar alle Axiome der späteren booleschen Algebra und seine ENTWEDER-ODER-Definition alle Axiome des späteren booleschen Rings, wobei die Additionen   und   strikt zu unterscheiden sind.

Boole entwarf seinen Kalkül primär als Begriffs- oder Klassenlogik, in dem   das Universum (die Allklasse) ist und die Unbestimmten   Klassen (Begriffe) repräsentieren. Innerhalb dieses Kalküls stellte er dann die scholastische Syllogistik mit Gleichungssystemen dar.[11] Ihre grundlegenden Prädikate repräsentierte er durch Gleichungen:[12]

ALLE   SIND      mit gleichwertiger Umformung  
KEINE   SIND  

Sekundär gebrauchte Boole seinen Kalkül auch als Aussagenlogik, in dem die Unbestimmten   Aussagen repräsentieren und   und   die Wahrheitswerte: [13]

  IST WAHR 
  IST FALSCH 

Sein logisches Entscheidungsverfahren über eine Normalform[2] ergänzte er durch ein gleichwertiges semantisches Entscheidungsverfahren mit Wahrheitswert-Einsetzungen in boolesche Funktionen, die jedem belegten logischen Term einen Wahrheitswert zuordnen.[14] Dieses Verfahren entspricht dem Entscheidungsverfahren mit Wahrheitstafeln, das zur Ermittlung von Tautologien dient.

Modifikationen von Booles KalkülBearbeiten

Unter der booleschen Algebra wird heute nicht Booles originale Algebra verstanden, sondern der boolesche Verband, den Boole-Nachfolger entwickelten. 1864 entfernte William Stanley Jevons bei Boole die logisch sinnlosen mathematischen Terme und gab der Addition einen logischen Sinn als inklusives ODER mit der Regel  .[15] Boole, der mit ihm korrespondierte, war nicht einig mit dieser Uminterpretation der Addition, weil die Regeln der üblichen Algebra verletzt sind, denn   impliziert in ihr  .[16] Dennoch setzte sich diese Modifikation von Booles Kalkül durch, maßgeblich beeinflusst durch Ernst Schröder, der dazu 1877 das erste vollständige Axiomensystem formulierte, das Giuseppe Peano 1888 in die moderne nicht-additive Form brachte.[17][18]

Booles Kalkül lässt sich auch so modifizieren, dass keine logisch sinnlosen Terme mehr vorkommen und die üblichen Rechenregeln für die Addition gewahrt bleiben. Dazu muss die Addition im logischen Bereich abgeschlossen sein und die Idempotenz erfüllen; dann gilt speziell  , was   impliziert, so dass auch   gilt und selbstinverse Terme vorliegen. Hierdurch erhält die Addition den Sinn des exklusiven ENTWEDER-ODER. Diese Kalkülvariante gab Iwan Iwanowitsch Schegalkin 1927 erstmals an zusammen mit einer vollständigen Axiomatisierung.[19] Dabei entsteht ein sogenannter boolescher Ring, dem Marshall Harvey Stone 1936 den Namen gab. Boolesche Ringe sind rechnerisch elegant, weil hier die schulbekannten Rechenregeln gelten. Die zur Entscheidbarkeit einer Formel notwendige Normalform entsteht hier einfach durch distributives Ausmultiplizieren und Streichen doppelter Faktoren und Summanden mit der Idempotenz   und der Zusatzregel  .

Beide Kalkülvarianten sind in Booles Originalkalkül implizit enthalten, da man mit seinen Definitionen beide Axiomensysteme ableiten kann.

SchriftenBearbeiten

  • George Boole: The mathematical analysis of logic: being an essay towards a calculus of deductive reasoning, 1847.
    • übersetzt, kommentiert und mit einem Nachwort versehen von Tilman Bergt: Die mathematische Analyse der Logik. Hallescher Verlag, Halle (Saale) 2001, pp 195, ISBN 3-929887-29-0.
    • gekürzt und aus dem Englischen übertragen abgedruckt in Karel Berka, Lothar Kreiser: Logik-Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik, 4. Auflage, Akademie Verlag, Berlin 1986 (Erstausgabe 1971), Seite 25–28 DNB /850989647.
  • George Boole: An Investigation of The Laws of Thought, London 1854; Reprint: Dover, New York, NY 1958, ISBN 0-486-60028-9.
  • George Boole: Selected Manuscripts on Logic and its Philosophy herausgegeben von Ivor Grattan-Guinness und Gérard Bornet, Birkhäuser, Berlin / Basel / Bosten, MA 1997, ISBN 3-7643-5456-9 (Berlin) / ISBN 0-8176-5456-9 (Boston) (= Science networks, Band 20, (englisch)).

LiteraturBearbeiten

  • James Gasser (Hrsg.): A Boole Anthology. Recent and Classical Studies in the Logic of George Boole. Kluwer Academic Publishers Dordrecht 2000, ISBN 0-7923-6380-9. Aktueller Forschungsstand.
  • Marshall Harvey Stone: The Theory of Representations for Boolean Algebras. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 40. 1936, S. 37–111.
  • Desmond MacHale: George Boole: His Life and Work. Boole Press, Dublin 1985.
  • P. D. Barry (Hrsg.): George Boole: a miscellany. Cork 1969.
  • R. Harley: George Boole: an essay, biographical and expository. London 1866.
  • G. C. Smith: The Boole-De Morgan correspondence, 1842–1864. New York 1982.
  • Ian Stewart: Grössen der Mathematik: 25 Denker, die Geschichte schrieben, rororo, Reinbek bei Hamburg 2018, ISBN 978-3-499-63394-2, S. 229–246
  • Isaac Asimov: Biographische Enzyklopädie der Naturwissenschaften und der Technik, Herder, Freiburg/Basel/Wien 1974, ISBN 3-451-16718-2, S. 280
  • T. A. A. Broadbent: Boole, George. In: Charles Coulston Gillispie (Hrsg.): Dictionary of Scientific Biography. Band 2: Hans Berger – Christoph Buys Ballot. Charles Scribner’s Sons, New York 1970, S. 293–298.

WeblinksBearbeiten

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. 200. Geburtstag von George Boole: Der Mann, der uns die Online-Suche ermöglichte. Spiegel online vom 2. November 2015.
  2. a b Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 60ff, definiert über MacLaurin-Reihen.
  3. „[…] it is interesting to see that the methods Boole introduced can be applied in a mechanical fashion. In effect he has given what is now called a decision procedure“ (William und Martha Kneale: The Development of Logic. Oxford: Clarendon Press 1962, Taschenbuchausgabe 1984, ISBN 0-19-824773-7, Seite 240).
  4. Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 18: „properties which they possess in common with symbols of quantity, and in virtue of which, all the processes of common algebra are applicable to the present System.“ Dazu gehören insbesondere die Division S. 73 und Taylorreihen-Entwicklungen S. 60ff. Quantity meint Größen, dem damaligen Ausdruck für reelle Zahlen.
  5. Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 15 Konjunktion   , S. 17 Idempotenz, S. 20 Negation  .
  6. Boole: An Investigation of the Laws of Thought. S. 66: „The expression   seems indeed uninterpretable, unless it be assumed that the things represented by   and the things represented by   are entirely separate; that they embrace no individuals in common.“
  7. Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 16.
  8. William Stanley Jevons: Pure logic, London 1864, S. 3: The forms of my system may, in fact, be reached by divesting his system of a mathematical dress, which, to say the least, ist not essential to it.
  9. Schröder: „Der Operationskreis des Logikkalkuls“, 1877, Vorwort S. III: „Ballast der algebraischen Zahlen“, „nicht deutungsfähigen Symbolen wie 2, -1, 1/3, 1/0“.
  10. Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 53 (30) inklusives ODER, S. 53(31) exklusives ENTWEDER-ODER.
  11. Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 31–47.
  12. Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 21 (4)(5).
  13. Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 51 (25)(26).
  14. Boole: The Mathematical Analysis of Logic. S. 62–64, Prop. 1 mit Korollaren; er sprach hier von „Modulen einer Funktion“.
  15. William Stanley Jevons: Pure logic, London 1864, S. 26 (69.) A+A als "A or A" mit Regel A+A=A.
  16. Zur Korrespondenz zwischen Boole und Jevons: Artikel George Boole, in: Stanford Encyclopedia of Philosophy, 5.1 Objections to Boole's Algebra of Logic.
  17. Ernst Schröder: Der Operationskreis des Logikkalkuls, Leipzig 1877, S. 8–17 (2)(3)(5)(6)(7).
  18. Giuseppe Peano: Calcolo geometrico, Torino 1888, S. 3–5, in: Boolesche Algebra#Definition
  19. Iwan Iwanowitsch Shegalkin: О технике вычислений предложений в символической логике, in: Matematicheskij Sbornik 34 (1927), 9-28; dort S. 11f das Axiomensystem [1]