Ganzes Element

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Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist der Begriff eines ganzen Elementes in einer Ringerweiterung eine Verallgemeinerung des Begriffes eines algebraischen Elementes in einer Körpererweiterung.

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein Ring und   eine  -Algebra. Dann heißt ein Element   ganz über  , wenn es ein Polynom   mit Leitkoeffizient 1 gibt, so dass   gilt, also wenn es ein   und Koeffizienten   gibt mit

 .

Die Menge der über   ganzen Elemente von   heißt der ganze Abschluss von   in  .

Falls der ganze Abschluss von   in   mit   übereinstimmt, heißt   ganz abgeschlossen in  . Stimmt der ganze Abschluss von   in   jedoch mit   überein, ist also jedes Element von   ganz über  , so heißt   ganz über  .

BeispieleBearbeiten

  • Ist   eine Ringerweiterung, dann ist   insbesondere eine  -Algebra. Ist   ganz über  , so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.
  • Ein Integritätsring, der ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist, wird als normaler Ring bezeichnet.
  • Der ganze Abschluss der ganzen Zahlen in einem algebraischen Zahlkörper   wird als der Ganzheitsring   von   bezeichnet.
  • Ist   und  , so ist der ganze Abschluss von   in   gegeben als
 

Charakterisierung ganzer Elemente in RingerweiterungenBearbeiten

Sei   eine Ringerweiterung,  . Dann sind äquivalent:[1]

  •   ist ganz über  ,
  •   ist als  -Modul endlich erzeugt,
  • es gibt einen Teilring  , sodass   und   als  -Modul endlich erzeugt ist.

EigenschaftenBearbeiten

  • Der ganze Abschluss von   in   ist eine  -Unteralgebra von  .
  • Ganzheit ist eine transitive Relation. Genauer gilt für eine Ringerweiterung  , dass   genau dann ganz über   ist, wenn   ganz über   und   ganz über   ist.[2]
  • Sei   eine Ringerweiterung,   der ganze Abschluss von   in   und   eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge. Dann ist auch   der ganze Abschluss von   in  , wobei mit   die Lokalisierung nach der Menge   bezeichnet.[4]
  • Sei   eine ganze Ringerweiterung und   nullteilerfrei. Dann ist   genau dann ein Körper, wenn   ein Körper ist.[5]
  • Ist   eine ganze Ringerweiterung. Dann gibt es einen Zusammenhang zwischen Primidealketten in   und darunterliegenden Primidealketten in  . Dies ist die Aussage der Sätze von Cohen-Seidenberg.
  • Falls   ein Unterring des Körpers   ist, dann ist der ganze Abschluss von   in   der Durchschnitt aller Bewertungsringe von   die   enthalten.[6]

LiteraturBearbeiten

  • M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Chapter 5, ISBN 0-201-00361-9

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.1.
  2. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.4.
  3. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, S. 60
  4. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.6.
  5. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.7.
  6. M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.22.