GOTO-Programm

GOTO-Programme sind spezielle Programme mit einer sehr einfachen Syntax. Dennoch spielen sie in Zusammenhang mit Berechenbarkeit eine große Rolle für die theoretische Informatik, insbesondere weil sich zeigen lässt, dass jede Turing-berechenbare Funktion GOTO-berechenbar ist.

SyntaxBearbeiten

GOTO-Programme haben folgende Syntax in modifizierter Backus-Naur-Form:

  •  
  •  
  •   sind Marken (k ∈ ℕ)

  ist die Menge aller GOTO-Programme gemäß obiger Definition.

Jede GOTO-berechenbare Funktion ist WHILE-berechenbar und umgekehrt.

Jede Turing-berechenbare Funktion ist GOTO-berechenbar und umgekehrt.

Erklärung der SyntaxBearbeiten

Jedes GOTO-Programm   besteht aus einer Anzahl von Anweisungen  , getrennt mit jeweils einem Semikolon. Vor jeder Anweisung befindet sich eine (eindeutige) Marke  , gefolgt von einem Doppelpunkt.

GOTO-Programme haben eine endliche Anzahl von Variablen   und Konstanten  . Es sind nur fünf verschiedene Anweisungen erlaubt:

  • Zuweisung einer Variablen durch eine weitere (dieselbe oder eine andere) Variable, vermehrt um eine Konstante, etwa
 
  • oder vermindert um eine Konstante, etwa
 .
  • eine Sprunganweisung
 
  • eine bedingte Sprunganweisung, wobei eine Variable auf Gleichheit mit einer Konstanten abgefragt wird, etwa
 
  • und die STOP-Anweisung
 .

KonsequenzBearbeiten

Man kann formal beweisen, dass jedes GOTO-Programm auch durch ein äquivalentes Pascal-, C-, C++- oder Java-Programm dargestellt werden kann, und umgekehrt.

BeispieleBearbeiten

Addition zweier VariablenBearbeiten

Das folgende GOTO-Programm berechnet die Summe   von zwei nicht-negativen Zahlen   und speichert diese in die Variable  .

    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    

Multiplikation zweier VariablenBearbeiten

Das folgende Programm berechnet das Produkt   von zwei nicht-negativen Zahlen   und speichert dieses in die Variable  . Da wir schon ein Programm zur Implementierung der Addition zweier Variablen haben verwenden wir diese um eine Implementierung der Multiplikation zu entwickeln.

    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    ;

Hier ist zu beachten, dass     formal kein gültiges GOTO-Programm ist, sondern durch ein entsprechendes GOTO-Programm für die Addition ersetzt werden muss. Führt man diese Ersetzung durch erhält man folgendes GOTO-Programm für die Multiplikation von zwei nicht-negativen Zahlen  .

    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    ;

Simulation durch WHILE-ProgrammBearbeiten

Ein GOTO-Programm

M1: A1; M2: A2; ... Mk: Ak

kann durch ein WHILE-Programm der folgenden Form simuliert werden

counter := 1;
WHILE counter != 0 DO
  IF counter = 1 THEN B1 END;
  IF counter = 2 THEN B2 END;
  ...
  IF counter = k THEN Bk END;
  IF counter = k+1 THEN counter := 0 END
END

wobei

Bi = xj := xn + c; counter := counter + 1   falls Ai = xj := xn + c
Bi = xj := xn - c; counter := counter + 1   falls Ai = xj := xn - c
Bi = counter := n                           falls Ai = GOTO Mn
Bi = IF xj = c THEN counter := n
     ELSE counter := counter + 1            falls Ai = IF xj = c THEN GOTO Mn
     END
Bi = counter := 0                           falls Ai = STOP

In WHILE-Programmen gibt es keine IF THEN END Anweisungen, diese können aber mit LOOP oder WHILE Schleifen implementiert werden. Das folgende Programm simuliert eine IF x1 = c THEN P1 END Anweisung, dabei werden drei neue Variablen xn1, xn2, xn3 verwendet.

xn1:=x1-(c-1); xn2:=x1-c; xn3:=1;
LOOP xn1 DO
  LOOP xn2 DO
     xn3:=0
  END;
  LOOP xn3 DO
     P1
  END
END

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Uwe Schöning: Theoretische Informatik – kurz gefasst. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, ISBN 978-3-8274-1824-1, 2.3 LOOP-, WHILE und GOTO-Berechenbarkeit.