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Der Gütefaktor, auch Güte, Kreisgüte, Filtergüte, Schwingkreisgüte, Resonanzschärfe oder Q-Faktor genannt, ist in der Technik ein Maß für die Dämpfung bzw. den Energieverlust eines zu Schwingungen fähigen Systems (z. B. eines Schwingkreises).[1] Eine hohe Güte eines Systems besagt, dass das System schwach gedämpft ist.

In einer zweiten Bedeutung ist der Gütefaktor ein Kennzeichen für den Energieverlust eines zweipoligen elektrischen Bauelementes oder Netzwerks.[2]

Der Kehrwert des Gütefaktors heißt in beiden Bedeutungen Verlustfaktor.[3]

Inhaltsverzeichnis

Elektrischer SchwingkreisBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Der Gütefaktor   eines Resonanzkreises bei einer gegebenen Frequenz wird definiert als

 

mit

  der gespeicherten Energie zu Beginn einer Schwingungsperiode
  der Energie, die innerhalb dieser Periode in thermische Energie übergeht.[1]

Ein Gütefaktor von 0,5, oder ein Dämpfungsgrad von 1 oder ein Verlustfaktor von 2, entspricht dem aperiodischen Grenzfall, bei dem es gerade keine Schwingung mehr gibt. Eine hohe Güte erfordert also ein   deutlich über 0,5.

ReihenschaltungBearbeiten

In einem Reihenschwingkreis werden ein elektrischer Widerstand  , eine Spule der Induktivität   und ein Kondensator der Kapazität   von demselben sinusförmigen Strom   mit dem Effektivwert   und der Amplitude   durchflossen. Die Resonanzfrequenz des idealen Schwingkreises und des realen Reihenschwingkreises beträgt

 

mit der Resonanzkreisfrequenz  . Die Periodendauer beträgt  . Eingesetzt in die Definition von   ergibt sich

 
 
 

Die Differenzialgleichung des Reihenschwingkreises lautet (siehe Hauptartikel)

 

mit dem Dämpfungsgrad  . Nach Division durch   führt ein Koeffizientenvergleich auf

 ,

und man kommt auf eine Beziehung zwischen Dämpfungsgrad und Gütefaktor

 .

ParallelschaltungBearbeiten

 
Parallelschwingkreis

In Analogie dazu liegt in einem Parallelschwingkreis an   dieselbe sinusförmige Spannung   an (Scheitelwert  , Effektivwert  ). Beim realen Parallelschwingkreis liegt die Resonanzfrequenz   geringfügig niedriger als  . Für die Berechnung der thermischen Energie, die in der Periodendauer abgegeben wird, kann der Unterschied unbeachtet bleiben.[4]

 
 
 

BandbreiteBearbeiten

 
Resonanzkurve bei einer logarithmischen Auftragung der Amplitude über der Erregerfrequenz, wobei die Resonanzfrequenz mit   bezeichnet ist

Der Gütefaktor eines Resonanzkreises ist ein Maß für die Schärfe der Resonanz.[1] Diese drückt man aus durch die Bandbreite[4]

  .

Die obere Grenzfrequenz   und die untere Grenzfrequenz   sind diejenigen Frequenzen, bei denen die Spannung   bzw. der Strom   auf den  -fachen Wert des Maximalwertes zurückgehen. An dieser Stelle ist die Leistung im Schwingkreis nur noch halb so groß wie bei der Resonanzfrequenz des verlustlosen Schwingkreises. Bei Darstellung des Pegels in Abhängigkeit von der Frequenz ist die Bandbreite gleich dem Frequenzbereich, an dessen Grenzen die Leistungswurzelgröße um 3 dB abnimmt. Die Grenzfrequenzen können berechnet werden aus

    und    .

Sie sind mit der Resonanzfrequenz des idealen Schwingkreises verbunden durch

 .

Mechanischer SchwingkreisBearbeiten

In der Mechanik geht man bei einem Federpendel (Masse-Feder-System) aus von den Differenzialgleichungen

 .

mit der Auslenkung   aus der Ruhelage, der Masse  , der vorzugsweise durch Reibung bestimmten Dämpfungskonstanten  , der Federkonstanten  , dem Dämpfungsgrad   und der Eigenkreisfrequenz   des ungedämpften Systems.

Dieselbe Definition des Gütefaktors wie beim elektrischen Schwingkreis führt auf[5][6]

 

mit der gegenüber   leicht verminderten Eigenkreisfrequenz des schwach gedämpften Systems

 

Elektrisches BauelementBearbeiten

Der Gütefaktor   eines linearen abstrahlungsfreien zweipoligen Netzwerkelementes oder Netzwerkes bei sinusförmigen Vorgängen wird definiert als das Verhältnis der Beträge von Blindleistung   und Wirkleistung   oder gleichwertig als das Verhältnis der Beträge von Blindwiderstand   und Wirkwiderstand  .[2]

  .

Der Gütefaktor ist ein Maß für – gewöhnlich unerwünschte – Verluste, insbesondere in einem Kondensator oder einer Spule.[2] Beispielsweise ist die Spulengüte

 

Diese Gleichung ähnlich der entsprechenden Gleichung beim Reihenschwingkreis, gilt aber für beliebige Frequenz   und nicht bei einer (gar nicht vorhandenen) Resonanzfrequenz  . Eine hohe Spulengüte ist erforderlich, wenn in einem Schwingkreis eine geringe Bandbreite angestrebt wird.

Der Gütefaktor ist bei Netzwerk(element)en zugleich der Kotangens des Verlustwinkels.[7]

BeispieleBearbeiten

In der folgenden Tabelle sind einige Größenordnungen von Gütefaktoren bei verschiedenen schwingenden Systemen angegeben.

System Gütefaktor Q
Aperiodischer Grenzfall  
Elektrodynamischer Lautsprecher typ.  
Elektrischer Schwingkreis  
Pendeluhr  
Schwingungstilger  
Schwingquarz 10 MHz  
Frequenzstabilisierter Laser  
Supraleitender Hohlraumresonator  
Cäsium-Atomuhr  
Mößbauer-Effekt bei Gammastrahlung  

LiteraturBearbeiten

  • Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Einführung in die Systemtheorie. 4. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – IEV 151-15-46
  2. a b c Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – IEV 151-15-45
  3. Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – IEV 151-15-47
  4. a b Erwin Böhmer, Dietmar Ehrhardt, Wolfgang Oberschelp: Elemente der angewandten Elektronik: Kompendium für Ausbildung und Beruf. 16. Auflage. Vieweg+Teubner, 2010, S. 69
  5. Dieter Meschede (Hrsg.), Christian Gerthsen: Gerthsen Physik. 21. Auflage. Springer, 2013, S. 150f
  6. Alan M. Portis, Hugh D. Young: Physik im Experiment. Vieweg, 1978, S. 34
  7. Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – IEV 151-15-48