Flache Mannigfaltigkeit

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In der Mathematik sind flache Mannigfaltigkeiten Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Schnittkrümmung konstant null.

Definition Bearbeiten

Eine flache Mannigfaltigkeit ist eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant  . (Eine Riemannsche Metrik mit Schnittkrümmung konstant   heißt flache Metrik. Eine flache Mannigfaltigkeit ist also eine Mannigfaltigkeit mit einer vollständigen flachen Metrik.)

Andere Charakterisierungen Bearbeiten

Es gibt zwei weitere Möglichkeiten, den Begriff der flachen Mannigfaltigkeit zu definieren. So wird festgelegt,

  • eine  -dimensionale flache Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zum euklidischen Raum   (das heißt dem   mit der euklidischen Metrik  ) ist.
  • eine flache Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Form  , wobei   eine diskrete Untergruppe der Gruppe der Isometrien des euklidischen Raumes ist.

Diese beiden Definitionen sind zueinander und zur Definition im Abschnitt darüber äquivalent. Die Äquivalenz zwischen der ursprünglichen Definition und der ersten Definition in diesem Abschnitt folgt aus dem Satz von Cartan; die Äquivalenz der beiden Definitionen aus diesem Abschnitt ergibt sich aus der Überlagerungstheorie.

Insbesondere ist eine einfach zusammenhängende flache Mannigfaltigkeit isometrisch zum euklidischen Raum.

Bieberbach-Gruppen Bearbeiten

Wenn   eine flache Mannigfaltigkeit ist, dann muss   torsionsfrei sein. Die Gruppe   ist dann isomorph zur Fundamentalgruppe von  .

Wenn   zusätzlich kompakt ist, dann ist   eine kristallographische Gruppe vom Rang  , eine sogenannte Raumgruppe. Weil   torsionsfrei sein muss, ist es dann eine Bieberbachgruppe.

Nach dem 1. Bieberbachschen Satz gibt es eine Untergruppe   von endlichem Index mit  . Der Quotient   wird als Holonomiegruppe der flachen Mannigfaltigkeit bezeichnet.

Beispiele Bearbeiten

Aus dem Satz von Chern-Gauß-Bonnet folgt, dass die Euler-Charakteristik einer flachen Mannigfaltigkeit immer null sein muss.

Zweidimensionale Beispiele Bearbeiten

Jede zweidimensionale kompakte flache Mannigfaltigkeit ist homöomorph zum Torus oder der Kleinschen Flasche.

Dreidimensionale Beispiele Bearbeiten

Bis auf Homöomorphie gibt es zehn kompakte flache 3-Mannigfaltigkeiten, davon sechs orientierbare und vier nicht-orientierbare. Die sechs orientierbaren Beispiele haben die Holonomiegruppen   (der 3-Torus),   für   und   (die Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit).[1]

Verallgemeinerte Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Eine  -dimensionale kompakte flache Mannigfaltigkeit heißt verallgemeinerte Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit, wenn die Holonomiegruppe   isomorph zu   ist.

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Wolf, Joseph A.: Spaces of constant curvature. Sixth edition. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2011. ISBN 978-0-8218-5282-8

Quellen Bearbeiten

  1. Hantzsche-Wendt: "Dreidimensionale euklidische Raumformen"