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Die fallende bzw. steigende Faktorielle bezeichnet in der Mathematik eine Funktion ähnlich der Exponentiation, bei der jedoch die Faktoren schrittweise fallen bzw. steigen, d. h., um Eins reduziert bzw. erhöht werden.

DefinitionBearbeiten

Für natürliche Zahlen   und   mit   wird die  -te fallende bzw. steigende Faktorielle als   bzw.   (in manchen älteren Lehrbüchern auch   bzw.  ) notiert und ist wie folgt definiert:

 
 

Kombinatorische InterpretationBearbeiten

Im Urnenmodell lässt sich die fallende Faktorielle als die Anzahl der Möglichkeiten interpretieren, aus einer Urne mit   verschiedenen Kugeln   Kugeln zu entnehmen, ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge. Für die erste Kugel gibt es   Kandidaten, für die zweite   … und schließlich für die letzte Kugel noch  . Für die Gesamtauswahl gibt es daher   Möglichkeiten.

Allgemein ist   die Anzahl der  -Permutationen einer  -Menge oder alternativ die Anzahl injektiver Abbildungen einer  -Menge in eine  -Menge.

VerallgemeinerungBearbeiten

Die Definition erfolgt analog für eine komplexe Zahl   und eine natürliche Zahl  :

 
 

Man kann   und   dann als komplexe Polynome in   auffassen.

Für   stimmt die steigende Faktorielle   mit dem Pochhammer-Symbol   überein.

EigenschaftenBearbeiten

RechenregelnBearbeiten

Es gelten folgende Rechenregeln:

 
 
 
   für  

Beziehungen zu anderen bekannten ZahlenBearbeiten

Mithilfe der fallenden Faktoriellen lassen sich die Binomialkoeffizienten allgemein definieren:

 

Es gelten außerdem folgende Gleichungen, wobei   und   die (vorzeichenlosen) Stirling-Zahlen erster und zweiter Art bezeichnen:

 
 
 
 

LiteraturBearbeiten