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Die Eulerschen Zahlen oder manchmal auch Euler-Zahlen (nach Leonhard Euler) sind eine Folge ganzer Zahlen, die durch die Taylorentwicklung der Hyperbelfunktion Secans hyperbolicus

definiert sind. Sie sind nicht zu verwechseln mit den zweiparametrigen Euler-Zahlen E(n,k).

Inhaltsverzeichnis

ZahlenwerteBearbeiten

Die ersten Eulerschen Zahlen   ≠ 0 lauten

   
0 1
2 −1
4 5
6 −61
8 1385
10 −50521
12 2702765
14 −199360981
16 19391512145
18 −2404879675441
20 370371188237525

Alle Eulerschen Zahlen mit ungeradem Index sind Null, während diejenigen mit geradem Index alternierendes Vorzeichen haben. Ferner besitzen die positiven Werte, mit Ausnahme von E0 bei Division durch 10 den Rest 5 und die negativen Werte modulo 10 den Rest −1 bzw. Wert 9.

Manche Autoren lassen die Zahlen mit ungeradem Index ganz weg, halbieren die Indizes sozusagen, da dort die Werte mit 0 nicht betrachtet werden, und definieren ihre Euler-Zahlen als verbleibende Folge. Manchmal werden die Eulerschen Zahlen auch so definiert, dass sie alle positiv sind, sprich unseren   entsprechen.

EigenschaftenBearbeiten

Asymptotisches VerhaltenBearbeiten

Für das asymptotische Verhalten der Eulerschen Zahlen gilt

 

oder präziser

 

mit der ~-Äquivalenz-Notation.

RekursionsgleichungBearbeiten

Eine leicht zu merkende Form der Rekursionsgleichung mit dem Startwert   lautet

 

wobei   als   zu interpretieren ist und woraus

 

bzw. durch Indextransformation die explizite Gestalt

 

folgt.

Geschlossene DarstellungenBearbeiten

Die Eulerschen Zahlen lassen sich sogar exakt[1]

 

mittels der Hurwitzschen Zetafunktion   falls   ist, darstellen. Und unter Ausnutzung ihrer Funktionalgleichung (dort mit m=1, n=4) die elegante Beziehung

 

aufstellen, die diese Zahlen als skalierte Funktionswerte dieser auf   holomorphen Funktion identifiziert. Somit erhalten wir auch

 

was einen direkten Zusammenhang mit den Bernoulli-Polynomen  und somit zu den Bernoulli-Zahlen herstellt. Außerdem gilt

 

wobei   die Dirichletsche Betafunktion bezeichnet.

Eulersche PolynomeBearbeiten

Nicht zu verwechseln mit den Euler-Polynomen

Die Eulerschen Polynome   werden meistens durch ihre erzeugende Funktion

 

implizit definiert. Die ersten lauten

 
 
 
 
 
 
 

Man kann sie aber auch zu   und dann für   über die Gleichung

 

induktiv definieren, wobei die untere Integrationsgrenze   für ungerades   1/2 ist und für gerades   Null ist.

Die Eulerschen Polynome sind symmetrisch um  , d. h.

 

und ihre Funktionswerte an den Stellen   und   der Beziehung

 

und

 

genügen, wobei   die Bernoulli-Zahl zweiter Art bezeichnet. Ferner haben wir die Identität

 

Das Eulersche Polynom   hat für n > 5 weniger als n reelle Nullstellen. So hat zwar   fünf (allerdings zwei doppelte, sprich nur drei verschiedene), aber schon   nur die zwei (trivialen) Nullstellen bei 0 und bei 1. Sei   die Nullstellenmenge. Dann ist

 

– wobei im Fall n=5 die Anzahl   als 5 zu bewerten ist, da die Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden müssen – und es gilt

 

wobei die Funktion   angewandt auf eine Menge eigentlich deren Elementanzahl angibt.

VorkommenBearbeiten

TaylorreihenBearbeiten

Die Folge der Eulerschen Zahlen   tritt zum Beispiel in der Taylorentwicklung von

 

auf. Sie ist verwandt mit der Folge der Bernoulli-Zahlen   was man auch an der Darstellung

 

erkennt. Aus dem Konvergenzradius der Taylorentwicklung der Sekans-funktion – der Cosinus im Nenner dort wird 0 bei   – von   folgt aus dem Wurzelkriterium das   asymptotisch gelten muss. Sie treten natürlich auch in den Taylorreihen der höheren Ableitungen vom Secans hyperbolicus bzw. der Gudermannfunktion auf.

IntegraleBearbeiten

Auch bei manchen uneigentlichen Integralen treten sie auf; beispielsweise bei dem Integral

 .

PermutationenBearbeiten

Die Eulerschen Zahlen kommen beim Zählen der Anzahl alternierender Permutationen mit gerader Elementanzahl vor. Eine alternierende Permutation von Werten ist eine Auflistung dieser Werte  , so dass diese Permutation kein Tripel   mit   enthält, das geordnet ist. Allgemein gilt für die Anzahl   der alternierenden Permutationen von   Elementen (die vergleichbar sind)

 ,

wobei der Faktor zwei dadurch entsteht, dass man jede Permutation durch Umdrehen der Reihenfolge in eine andere alternierende Permutation überführen kann. Für eine beliebige (also auch ungerade) Anzahl   gilt

 

mit   und

 

für  , womit man einen weiteren effizienten Algorithmus auch zur Bestimmung der   erhält. Für ungerades   werden die Werte   auch Tangentenzahlen genannt.

LiteraturBearbeiten

  • J. M. Borwein, P. B. Borwein, K. Dilcher, Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions, AMM, V. 96, No. 8, (Oct. 1989), pp. 681–687

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. M. Abramowitz amd I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Dover, N.Y. 1964, p. 807

WeblinksBearbeiten