Eisensteinkriterium

mathematischer Satz

Das Eisensteinkriterium oder auch Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein dient in der Algebra zum Nachweis der Irreduzibilität eines gegebenen Polynoms. Es lassen sich damit leichter Aussagen über die Teilbarkeit von Polynomen treffen.

Das Kriterium ist nach dem Mathematiker Gotthold Eisenstein benannt, der dazu 1850 einen öffentlichkeitswirksamen Aufsatz in Crelles Journal (Band 39) verfasste.[1] Schon vier Jahre zuvor war es ebenda zum ersten Mal von Theodor Schönemann veröffentlicht worden (Band 32). Es wurde und wird teilweise auch nach Schönemann benannt.[2]

AussageBearbeiten

Sei   ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, also  

Wenn eine Primzahl   existiert, die alle Koeffizienten   bis   teilt, den Koeffizienten   jedoch nicht quadratisch und   gar nicht teilt; wenn also

  •   für alle   und
  •   und
  •  

gilt, dann ist   in   irreduzibel. Ist   zusätzlich noch primitiv, so ist es auch irreduzibel in  .

VerallgemeinerungBearbeiten

Sind die Koeffizienten aus einem faktoriellen Ring   und existiert ein entsprechendes Primelement  , so ist das Polynom irreduzibel im Polynomring des Quotientenkörpers von  

BemerkungenBearbeiten

  • Ein Polynom, für das ein solches   existiert, wird auch Eisenstein-Polynom bezüglich   genannt.
  • Das Kriterium ist nur hinreichend; auch wenn es nicht erfüllt ist, kann das Polynom irreduzibel sein. Die Zerlegbarkeit eines Polynoms kann damit nicht nachgewiesen werden.
  • Für eine Zerlegung in   kann man das Kriterium wie folgt benutzen. Es gilt natürlich:   hat Inhalt 1 und ist irreduzibel in   irreduzibel in   Fasst man   also als diophantische Gleichung für x auf, so lässt sich folgern: Ist das Kriterium für   erfüllt, so gibt es auch keine ganzzahlige Lösung der Gleichung.
  • Allerdings folgt aus dem Gaußschen Lemma auch die Umkehrung:   irreduzibel in   irreduzibel in  [3]

BeispieleBearbeiten

  •   ist nach obigem Kriterium irreduzibel über   (wähle  ). Dies bedeutet, dass die reelle Nullstelle des Polynoms irrational sein muss.
  •   ist irreduzibel in   wenn   eine Primzahl ist oder einen einfachen Primteiler hat. Insbesondere kann dann   für kein   rational sein.
  •   erfüllt das Kriterium nicht und ist irreduzibel.   erfüllt das Kriterium genauso wenig, ist aber zerlegbar in  
  •   erfüllt das Kriterium mit  , ist also irreduzibel in   Wegen   ist das Polynom aber reduzibel in  , denn es zerfällt dort in ein Produkt zweier Nichteinheiten.
  • Das Polynom   kann als Element im Ring   der Polynome in   mit Koeffizienten im faktoriellen Ring   aufgefasst werden. Es ist   irreduzibel in  , also auch ein Primelement. Nach dem verallgemeinerten Eisensteinkriterium ist also   irreduzibel in  .
  • Für jede Primzahl   ist das Kreisteilungspolynom   in   nach dem Eisensteinkriterium irreduzibel in  . Da das Kriterium nicht direkt anwendbar ist, wird eine Variablensubstitution vorgenommen. Der durch
  und  
festgelegte Automorphismus   auf   hat die inverse Variablensubstitution  , welche durch
  und  
definiert ist. Des Weiteren gilt
 
Daraus folgt, dass
 
gilt. Dabei ist die rechte Seite der Gleichung als Element aus dem Quotientenkörper von   anzusehen. Da die Division ohne Rest aufgeht, ist die rechte Seite der Gleichung aber insbesondere auch ein Element aus  . Mit dem binomischen Lehrsatz folgt:
 
Nach dem Eisensteinkriterium ist   irreduzibel, denn es gilt
  für  
  ist als Inverses des Automorphismus   ebenfalls ein Automorphismus. Da Automorphismen irreduzible Polynome auf irreduzible Polynome abbilden, ist   irreduzibel in  

BeweisBearbeiten

Der Beweis läuft per Widerspruch: Angenommen,   wäre ein Eisensteinpolynom bezüglich   und es gäbe zwei nicht-konstante Polynome   und   in   mit   Da nach Voraussetzung alle   bis auf den Leitkoeffizienten   durch   teilbar sind, gilt folgendes Modulo-Argument:   Damit müssen auch   und   Monome modulo   sein, d. h. auch deren sonstige Koeffizienten sind alle durch   teilbar. Insbesondere die konstanten Terme von   und   sind jeweils durch   teilbar. Wegen   folgt mit dem Cauchy-Produkt, dass der konstante Term   von   durch   teilbar ist – Widerspruch dazu, dass das Kriterium für   erfüllt ist. Damit muss   irreduzibel in   sein. Mit dem Lemma von Gauß folgt, dass   auch irreduzibel im Quotientenkörper, sprich in  , ist. Und das ist, was zu zeigen war.

Betrachtet man allgemein Polynome über einem faktoriellen Ring  , so muss das Modulo-Argument durch einen geeigneten Homomorphismus ersetzt werden, der   auf seine entsprechende Restklasse in   abbildet. Da   faktoriell ist und   ein Primelement, lässt sich der Homomorphismus leicht finden. Die Linearität erlaubt dann analog die Folgerung, dass   und   jeweils selbst auf ein Monom abgebildet werden.[3]

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Eisenstein: Über die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhängt. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 39, 1850, S. 160–179.
  2. Lemmermeyer: Reciprocity Laws. Springer Verlag 2000, S. 274.
  3. a b Jürgen Wolfart: Einführung in die Algebra und Zahlentheorie. Vieweg Verlag, 1996, Seite 143, ISBN 978-3528072865.