Einstichproben-t-Test

Mathematische Statistik

Der Einstichproben-t-Test (englisch one sample t-test) ist ein Signifikanztest aus der mathematischen Statistik. Er prüft anhand des Mittelwertes einer Stichprobe, ob der Mittelwert einer Grundgesamtheit gleich einem vorgegebenen Wert ist (bzw. kleiner oder größer).

Eine entsprechende Erweiterung eines Mittelwertvergleiches für zwei (abhängige oder unabhängige) Stichproben ist der Zweistichproben-t-Test.

TestideeBearbeiten

Der Einstichproben-t-Test prüft (im einfachsten Fall) mit Hilfe des Mittelwertes   einer Stichprobe, ob der Mittelwert der Grundgesamtheit   verschieden von einem vorgegebenen Wert   ist.

Die untenstehende Grafik zeigt eine Grundgesamtheit (schwarze Punkte) und eine Stichprobe (rote Punkte), die zufällig aus der Grundgesamtheit gezogen wurde. Der Mittelwert   der Stichprobe kann aus der Stichprobe berechnet werden, der Mittelwert   der Grundgesamtheit ist jedoch unbekannt. Man vermutet, z. B. wegen historischer Ergebnisse oder theoretischer Überlegungen, dass der Mittelwert   der Grundgesamtheit verschieden von einem vorgegebenen Wert   ist.

Im einfachsten Fall prüft der Test

  • die Nullhypothese, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit gleich dem vorgegebenen Wert ist ( )
  • gegen die Alternativhypothese, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit ungleich dem vorgegebenen Wert ist ( ).

Wenn die Stichprobe geeignet gezogen wird, z. B. als einfache Zufallsstichprobe, wird der Mittelwert der Stichprobe   mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe bei dem Mittelwert der Grundgesamtheit   liegen. D. h. der Abstand zwischen der gestrichelten roten und schwarzen Linie wird mit hoher Wahrscheinlichkeit klein sein.

  • Liegt nun der vorgegebene Wert   nahe dem Mittelwert der Stichprobe  , d. h. die gestrichelte blaue und die gestrichelte rote Linie haben einen kleinen Abstand, dann liegt der vorgegebene Wert   auch nahe dem Mittelwert der Grundgesamtheit  . Wir können dann die Nullhypothese nicht ablehnen.
  • Liegt jedoch der vorgegebene Wert   weit entfernt von dem Mittelwert der Stichprobe  , d. h. die gestrichelte blaue und die gestrichelte rote Linie haben einen großen Abstand, dann liegt der vorgegebene Wert   auch weit entfernt von dem Mittelwert der Grundgesamtheit  . Dann können wir die Nullhypothese ablehnen.

Die genauen mathematischen Berechnungen finden sich in den folgenden Abschnitten.

HypothesenBearbeiten

Für den Einstichproben-t-Test können drei verschiedene Hypothesenpaare (Nullhypothese   vs. Alternativhypothese  ) formuliert werden:

  1.   vs.   (zweiseitiger Test),
  2.   vs.   (rechtsseitiger Test) und
  3.   vs.   (linksseitiger Test),

Für alle drei Hypothesenpaare wird die gleiche Teststatistik benutzt, lediglich die Bereiche für die Ablehnung bzw. Annahme der Nullhypothese unterscheiden sich.

Mathematische Herleitung der TeststatistikBearbeiten

Für eine normalverteilte GrundgesamtheitBearbeiten

Sind   unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert   und Standardabweichung  , und möchte man die Nullhypothese   testen, dann liegt es nahe, ihr arithmetisches Mittel

 

als Teststatistik zu benutzen. Sie ist namentlich ebenfalls normalverteilt mit Erwartungswert  , hat aber die Standardabweichung  . Bei bekanntem   könnte die Hypothese mit einem Gauß-Test getestet werden. Dazu berechnet man

 ,

welche unter der Nullhypothese standardnormalverteilt ist.

Normalerweise ist jedoch die Standardabweichung unbekannt und tritt (da man hier keine Inferenz über   betreibt) hier als sogenannter Störparameter auf. In diesem Fall liegt es nahe, sie durch die empirische Standardabweichung

 

zu schätzen und als Teststatistik

 

zu verwenden. Diese Statistik ist unter der Nullhypothese allerdings nicht mehr normalverteilt, sondern t-verteilt mit   Freiheitsgraden. Ist der Wert der Teststatistik für eine konkrete Stichprobe so groß (oder so klein), dass dieser oder ein noch signifikanterer Wert unter der Nullhypothese hinreichend unwahrscheinlich ist, wird die Nullhypothese abgelehnt.

Für eine beliebig verteilte GrundgesamtheitBearbeiten

Sind   ( ) unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert   und Standardabweichung  , dann liegt es wie im obigen Fall nahe, ihr arithmetisches Mittel

 

als Teststatistik zu benutzen. Obwohl die Verteilung von   unbekannt ist, gilt aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes, dass es approximativ normalverteilt ist mit Erwartungswert   und Standardabweichung  .

Weil normalerweise die Standardabweichung unbekannt ist, liegt es auch in diesem Fall nahe, sie durch die empirische Standardabweichung

 

zu schätzen und wieder als Teststatistik

 

zu verwenden. Diese Statistik ist unter der Nullhypothese allerdings nur annähernd t-verteilt mit   Freiheitsgraden. Ist der Wert der Teststatistik für eine konkrete Stichprobe so groß (oder so klein), dass dieser oder ein noch extremerer Wert unter der Nullhypothese hinreichend unwahrscheinlich ist, wird die Nullhypothese abgelehnt.

BeispielBearbeiten

Zweiseitiger TestBearbeiten

Es soll getestet werden, ob die durchschnittliche Laufzeit   von Notebook-Akkus möglicherweise von den vom Hersteller angegebenen 3,5 Stunden abweicht. Dazu werden bei 10 Akkus dieser Marke unter kontrollierten gleichen Bedingungen die Laufzeiten gemessen. Da wir nur wenige Beobachtungen haben, kann der zentrale Grenzwertsatz nicht angewendet werden; siehe Abschnitt Mathematische Herleitung der Teststatistik für eine beliebig verteilte Grundgesamtheit. Wir müssen daher davon ausgehen, dass die Laufzeit der Notebook-Akkus in der Grundgesamtheit normalverteilt ist.

Folgende Hypothesen sollen geprüft werden:

Allgemein Beispiel
  vs.     Stunden vs.   Stunden

Bei der Durchführung des Tests ergebe sich beispielsweise der Stichprobenmittelwert   Stunden und die Stichprobenstandardabweichung   Stunden. Daraus lässt sich nun der Prüfwert   folgendermaßen berechnen:

Allgemein Beispiel
   
mit     Stunden
und     Stunden

Die Nullhypothese wird zum Signifikanzniveau   abgelehnt, falls  . Darin entspricht   dem  -Quantil der t-Verteilung mit   Freiheitsgraden.

Für das Beispiel heißt das, dass die Nullhypothese abgelehnt wird bei einem Signifikanzniveau  , wenn t kleiner ist als das 2,5 %-Quantil oder größer als das 97,5 %-Quantil der t-Verteilung mit   Freiheitsgraden. Man findet mit Hilfe einer t-Tabelle oder eines Computerprogramms den Wert  . Aufgrund der Symmetrie der t-Verteilung ist  . Wegen   kann die Nullhypothese, dass der Erwartungswert der Laufzeit gleich 3,5 Stunden ist, zum Signifikanzniveau   abgelehnt werden. Die Akkus laufen im Mittel nicht 3,5 Stunden, also mehr oder weniger.

Einseitiger TestBearbeiten

In der Praxis hätte man einen einseitigen Test durchgeführt, denn nur wenn die Akkus mehr als 3,5 Stunden laufen, dann ist man als Kunde zufrieden. Die Hypothesen zum Prüfen, ob die Akkus mindestens 3,5 Stunden durchhalten, lauten dann

Allgemein Beispiel
  vs.     Stunden vs.   Stunden

Der Prüfwert ergibt sich wieder zu   und kann auch zum Testen der einseitigen Hypothese zum Signifikanzniveau   verwendet werden. Die Nullhypothese   wird nun abgelehnt, wenn   ist.

Für   ergibt sich  . Und da   gilt, können wir diese Nullhypothese ebenfalls ablehnen, d. h., wir konnten zeigen, dass die durchschnittliche Akkulaufzeit kleiner als 3,5 Stunden ist.

Alternative TestsBearbeiten

  • Im Fall,
  • wenn der zentrale Grenzwertsatz für die Stichprobenvariablen   nicht erfüllt ist oder
  • wenn der zentrale Grenzwertsatz für die Stichprobenvariablen   erfüllt ist und der Stichprobenumfang kleiner gleich 30 ist
kann als Alternative der nichtparametrische Einstichproben-Median-Test eingesetzt werden. Dieser testet allerdings, ob der Median der Grundgesamtheit einem vorgegebenen Wert entspricht.
  • Ist die Standardabweichung   bekannt, dann sollte der Einstichproben-Gauß-Test verwendet werden.

KompaktdarstellungBearbeiten

Einstichproben-t-Test
Voraussetzungen
  •   unabhängig voneinander
  •   oder   und hinreichend großes   (siehe ZGS)
Hypothesen  
 
(rechtsseitig)
 
 
(zweiseitig)
 
 
(linksseitig)
Teststatistik  
Prüfwert   mit   und  
Ablehnungsbereich        

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten