Der Begriff des Divisors spielt in der algebraischen Geometrie und der komplexen Analysis eine wichtige Rolle bei der Untersuchung algebraischer Varietäten bzw. komplexer Mannigfaltigkeiten und der darauf definierten Funktionen. Unterschieden werden müssen dabei der Weil-Divisor und der Cartier-Divisor, welche in bestimmten Fällen übereinstimmen.

Ursprünglich kommt dem Divisor im eindimensionalen Fall die Bedeutung zu, die Null- und Polstellenmenge einer rationalen bzw. meromorphen Funktion vorzuschreiben, und es stellt sich die Frage, für welche Divisoren eine solche Realisierung möglich ist, was eng mit der Geometrie der Varietät bzw. Mannigfaltigkeit verknüpft ist.

Eindimensionaler FallBearbeiten

FunktionentheorieBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Gebiet oder eine riemannsche Fläche. Eine Abbildung   heißt Divisor in  , falls ihr Träger   in   abgeschlossen und diskret ist. Die Menge aller Divisoren auf   bildet bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe, die mit   bezeichnet wird. Auf dieser Gruppe führt man eine partielle Ordnung ein. Seien  , dann setzt man  , falls   für alle   gilt.

HauptdivisorBearbeiten

Zu jeder von Null verschiedenen meromorphen Funktion   kann ein Divisor   definiert werden, indem der Divisor jedem Punkt aus   die Null- beziehungsweise die Polstellenordnung zuordnet:

 

Ein Divisor, der gleich dem Divisor einer meromorphen Funktion ist, heißt Hauptdivisor.

Der weierstraßsche Produktsatz besagt, dass in   jeder Divisor ein Hauptdivisor ist. In einer kompakten, riemannschen Fläche gilt dies jedoch nicht mehr und ist vom Geschlecht der Fläche abhängig. Dies wird im Artikel Satz von Riemann-Roch näher erläutert.

Algebraische KurvenBearbeiten

Sei   eine ebene algebraische Kurve. Eine formale Summe   heißt Divisor in  , falls   außer für endlich viele  . Durch punktweise Addition wird die Menge aller Divisoren in   zu einer freien abelschen Gruppe.

Analog zur o. g. Definition definiert man für eine rationale Funktion den Divisor der Funktion. Ein Divisor, der gleich dem Divisor einer rationalen Funktion ist, heißt Hauptdivisor.

Im Falle   ist für einen Divisor die Abbildung   ein Divisor im Sinne der Funktionentheorie. Allerdings gibt es Divisoren im Sinne der Funktionentheorie, die nicht auf diese Weise entstehen, da dort   für unendlich viele   (die allerdings keinen Häufungspunkt haben dürfen) zugelassen ist.

Allgemeine DefinitionBearbeiten

Weil-DivisorBearbeiten

Sei   ein noethersches integres separiertes Schema, regulär in Kodimension 1. Ein Primdivisor   in   ist ein abgeschlossenes ganzes Unter-Schema der Kodimension Eins. Ein Weil-Divisor (nach André Weil) ist dann ein Element der frei erzeugten abelschen Gruppe   der Primdivisoren und wird meistens als formale Summe   geschrieben, wobei nur endlich viele   von Null verschieden sind.

  • Ein Weil-Divisor heißt effektiv (oder positiv), wenn   für alle   gilt.
  • Ein Weil-Divisor heißt Hauptdivisor, falls er gleich dem Divisor einer von Null verschiedenen rationalen Funktion ist: Sei   eine rationale Funktion auf  , von Null verschieden. Für jeden Primdivisor   in   bezeichne   die Bewertung von   im diskreten Bewertungsring, der zu einem generischen Punkt von   gehört. Die Bewertung ist von der Wahl des generischen Punktes unabhängig. Im eindimensionalen Fall entspricht die Bewertung dem Grad der Null- bzw. Polstelle von   in diesem Punkt.   heißt dann Divisor von   und definiert tatsächlich einen Weil-Divisor, die Summanden sind nur für endlich viele Primdivisoren von Null verschieden.
  • Zwei Weil-Divisoren heißen linear äquivalent, falls ihre Differenz ein Hauptdivisor ist. Der Quotient von   bezüglich dieser Äquivalenz ist die Divisorenklassengruppe und wird mit   bezeichnet.

Cartier-DivisorBearbeiten

Sei   eine komplexe Mannigfaltigkeit bzw. eine algebraische Varietät und   bezeichne die Garbe der holomorphen bzw. algebraischen Funktionen auf   und   bezeichne die Garbe der meromorphen bzw. rationalen Funktionen auf  . Die Quotienten-Garbe   heißt Garbe der Divisoren, und ein Schnitt in   heißt Cartier-Divisor (nach Pierre Cartier), meist nur als Divisor bezeichnet. Die Menge aller Schnitte   bildet eine Abelsche Gruppe.

  • Ein Cartier-Divisor heißt Hauptdivisor, falls er im Bild der natürlichen Abbildung   liegt, also der Divisor einer nicht-verschwindenden meromorphen Funktion ist.
  • Zwei Cartier-Divisoren heißen linear äquivalent, falls ihr Quotient ein Hauptdivisor ist. Der Quotient bezüglich dieser Äquivalenz wird mit   bezeichnet.

Beziehung zwischen Cartier- und Weil-DivisorenBearbeiten

Sei   ein noethersches integres separiertes Schema, dessen lokale Ringe alle faktoriell sind. Dann ist die Gruppe   der Weil-Divisoren auf   isomorph zur Gruppe der Cartier-Divisoren  . Dieser Isomorphismus erhält die Eigenschaft, Hauptdivisor zu sein und führt die Quotientengruppen   und   ineinander über.

WeblinksBearbeiten

Wiktionary: Divisor – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

LiteraturBearbeiten

  • Joseph L. Taylor: Several Complex Variables with Connections to Algebraic Geometry and Lie Groups. American Mathematical Society 2002, ISBN 0-8218-3178-X
  • William Fulton: Algebraic Curves. An Introduction to Algebraic Geometry. Mathematics lecture note series, 30. Benjamin/Cummings, New York 1969, ISBN 0-201-51010-3
  • Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer-Verlag 1977. ISBN 0-387-90244-9
  • Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-57052-3