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In der Mathematik heißt ein Raum diskret, wenn es zu jedem Punkt Umgebungen gibt, so dass kein anderer Punkt in der Umgebung liegt. Anschaulich liegen die Punkte im Raum isoliert.

Teilmengen des euklidischen RaumsBearbeiten

Diskrete Teilmengen der reellen ZahlenBearbeiten

Eine Teilmenge   der reellen Zahlen heißt diskret, wenn es zu jedem Element   ein offenes Intervall gibt, das außer   kein weiteres Element von   enthält. Die Elemente einer diskreten Menge sind anschaulich voneinander isoliert, getrennt.

Zum Beispiel ist die Menge der ganzen Zahlen eine diskrete Teilmenge der reellen Zahlen. Die rationalen Zahlen sind dagegen nicht diskret, denn z. B. für die Zahl 0 gibt es kein offenes Intervall, das außer 0 keine weiteren Brüche enthält.

Diskretheit bedeutet nicht, dass es zwischen je zwei Elementen einer diskreten Menge nur endlich viele Elemente geben muss. Zum Beispiel ist die Menge   eine diskrete Teilmenge: Für jedes Element   gibt es das offene Intervall  , das aus   nur   enthält; analoges gilt für die Elemente  . Zwischen   und   liegen jedoch unendlich viele Elemente von  .

Nicht diskret ist hingegen die Menge  , weil das Element 0 nicht isoliert ist.

Diskrete Teilmengen in höheren DimensionenBearbeiten

Analog bezeichnet man   als diskret, wenn für alle   eine offene Umgebung in   existiert, die außer   kein weiteres Element von   enthält. Äquivalent ist die Forderung, dass   keinen Häufungspunkt enthält.

Diskreter metrischer RaumBearbeiten

Ein metrischer Raum, dessen Metrik die Gestalt   für   hat, heißt diskreter metrischer Raum.

EigenschaftenBearbeiten

Ein diskreter metrischer Raum ist vollständig und auch als topologischer Raum diskret.

Ein metrischer Raum, der als topologischer Raum diskret ist, muss allerdings nicht die diskrete Metrik besitzen, und auch nicht vollständig sein. Zum Beispiel ist die im Abschnitt „Diskrete Teilmenge der reellen Zahlen“ angegebene Menge   ein diskreter topologischer Raum, aber der Grenzwert 0 der Cauchyfolge   liegt außerhalb von  .

Diskreter topologischer RaumBearbeiten

Man verallgemeinert den Begriff des isolierten Punktes auf topologische Räume durch folgende Definition:

Ein Punkt   des topologischen Raumes   heißt isolierter Punkt, wenn die einelementige Menge   offen ist.

Ein isolierter Punkt hat also eine Umgebung, „in der er allein ist“. Mit diesem Begriff verallgemeinert man nun den Begriff der diskreten Teilmenge:

DefinitionBearbeiten

Ein topologischer Raum heißt diskreter topologischer Raum, wenn jeder seiner Punkte isoliert ist.

EigenschaftenBearbeiten

  • In einem diskreten topologischen Raum ist jede Teilmenge offen.
  • Eine Funktion von einem topologischen Raum, deren Bildmenge diskret ist, ist genau dann stetig, wenn sie lokal konstant ist.
  • Jede Funktion, deren Definitionsbereich diskret ist, ist stetig.

LiteraturBearbeiten