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Zahlentheoretische Funktion

Funktion, die jeder positiven natürlichen Zahl einen Funktionswert aus den komplexen Zahlen zuordnet
(Weitergeleitet von Dirichlet-Faltung)

Eine zahlentheoretische oder arithmetische Funktion ist eine Funktion, die jeder positiven natürlichen Zahl eine komplexe Zahl zuordnet. Diese Funktionen dienen in der Zahlentheorie dazu, Eigenschaften von natürlichen Zahlen, besonders deren Teilbarkeit, zu beschreiben und zu untersuchen.

Inhaltsverzeichnis

Spezielle zahlentheoretische FunktionenBearbeiten

BeispieleBearbeiten

Die ersten Werte einiger zahlentheoretischen Funktionen
n = φ(n) ω(n) Ω(n) λ(n) μ(n) Λ(n) π(n) σ0(n) σ1(n) σ2(n) r2(n) r3(n) r4(n)
1 1 1 0 0 1 1 0.00 0 1 1 1 4 6 8
2 2 1 1 1 -1 -1 0.69 1 2 3 5 4 12 24
3 3 2 1 1 -1 -1 1.10 2 2 4 10 0 8 32
4 22 2 1 2 1 0 0.69 2 3 7 21 4 6 24
5 5 4 1 1 -1 -1 1.61 3 2 6 26 8 24 48
6 2‧3 2 2 2 1 1 0.00 3 4 12 50 0 24 96
7 7 6 1 1 -1 -1 1.95 4 2 8 50 0 0 64
8 23 4 1 3 -1 0 0.69 4 4 15 85 4 12 24
9 32 6 1 2 1 0 1.10 4 3 13 91 4 30 104
10 2‧5 4 2 2 1 1 0.00 4 4 18 130 8 24 144
11 11 10 1 1 -1 -1 2.40 5 2 12 122 0 24 96
12 22‧3 4 2 3 -1 0 0.00 5 6 28 210 0 8 96
13 13 12 1 1 -1 -1 2.56 6 2 14 170 8 24 112
14 2‧7 6 2 2 1 1 0.00 6 4 24 250 0 48 192
15 3‧5 8 2 2 1 1 0.00 6 4 24 260 0 0 192
16 24 8 1 4 1 0 0.69 6 5 31 341 4 6 24
17 17 16 1 1 -1 -1 2.83 7 2 18 290 8 48 144
18 2‧32 6 2 3 -1 0 0.00 7 6 39 455 4 36 312
19 19 18 1 1 -1 -1 2.94 8 2 20 362 0 24 160
20 22‧5 8 2 3 -1 0 0.00 8 6 42 546 8 24 144
21 3‧7 12 2 2 1 1 0.00 8 4 32 500 0 48 256
22 2‧11 10 2 2 1 1 0.00 8 4 36 610 0 24 288
23 23 22 1 1 -1 -1 3.14 9 2 24 530 0 0 192
24 23‧3 8 2 4 1 0 0.00 9 8 60 850 0 24 96
25 52 20 1 2 1 0 1.61 9 3 31 651 12 30 248
26 2‧13 12 2 2 1 1 0.00 9 4 42 850 8 72 336
27 33 18 1 3 -1 0 1.10 9 4 40 820 0 32 320
28 22‧7 12 2 3 -1 0 0.00 9 6 56 1050 0 0 192
29 29 28 1 1 -1 -1 3.37 10 2 30 842 8 72 240
30 2‧3‧5 8 3 3 -1 -1 0.00 10 8 72 1300 0 48 576
31 31 30 1 1 -1 -1 3.43 11 2 32 962 0 0 256
32 25 16 1 5 -1 0 0.69 11 6 63 1365 4 12 24
33 3‧11 20 2 2 1 1 0.00 11 4 48 1220 0 48 384
34 2‧17 16 2 2 1 1 0.00 11 4 54 1450 8 48 432
35 5‧7 24 2 2 1 1 0.00 11 4 48 1300 0 48 384
36 22‧32 12 2 4 1 0 0.00 11 9 91 1911 4 30 312
37 37 36 1 1 -1 -1 3.61 12 2 38 1370 8 24 304
38 2‧19 18 2 2 1 1 0.00 12 4 60 1810 0 72 480
39 3‧13 24 2 2 1 1 0.00 12 4 56 1700 0 0 448
40 23‧5 16 2 4 1 0 0.00 12 8 90 2210 8 24 144

Wichtige arithmetische Funktionen sind

  • die identische Funktion   und ihre Potenzen  
  • die Dirichlet-Charaktere  
  • die Teilerfunktionen
  speziell  ,
die die Summe aller Teiler bzw. der  -ten Potenzen aller Teiler einer Zahl   angeben und
  • die Teileranzahlfunktion   die angibt, wie viele Teiler die Zahl   besitzt,
  • die Eulersche φ-Funktion, die die Anzahl der zu   teilerfremden natürlichen Zahlen angibt, die nicht größer als   sind,
  • die Liouville-Funktion  ,
  • die Ordnung  , also die Anzahl der (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren von  , sowie   als Zahl der verschiedenen Primfaktoren,
  • die Dedekindsche Psi-Funktion,
  • die Möbiussche μ-Funktion (siehe den Absatz über Faltung weiter unten),
  • die Isomorphietypen-Anzahlfunktion  ,
  • die p-adische Exponentenbewertung  
  • die Primzahlfunktion   die die Anzahl der Primzahlen angibt, die nicht größer als   sind,
  • die Smarandache-Funktion,
  • die Chebyshev-Funktion,
  • die Mangoldt-Funktion   ,
  • die Quadratsummen-Funktionen   als Anzahl der Darstellungen einer gegebenen natürlichen Zahl   als Summe von   Quadraten ganzer Zahlen.

Multiplikative FunktionenBearbeiten

Eine zahlentheoretische Funktion heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen   und   stets   gilt und   nicht verschwindet, was äquivalent zu   ist. Sie heißt vollständig multiplikativ, auch strikt oder streng multiplikativ, wenn dies auch für nicht teilerfremde Zahlen gilt. Jede vollständig multiplikative Funktion ist also multiplikativ. Eine multiplikative Funktion lässt sich darstellen als

 

d. h. eine multiplikative Funktion ist vollständig durch die Werte bestimmt, die sie für Primzahlpotenzen annimmt.

  • Von den oben als Beispiele angeführten Funktionen sind die Identität und ihre Potenzen sowie die Dirichlet-Charaktere vollständig multiplikativ, die Teileranzahlfunktion, die Teilerfunktionen und die Eulersche φ-Funktion multiplikativ. Die Primzahlfunktion und die Exponentenbewertung sind nicht multiplikativ.
  • Das (punktweise) Produkt von zwei (vollständig) multiplikativen Funktionen ist wieder (vollständig) multiplikativ.

Additive FunktionenBearbeiten

Eine zahlentheoretische Funktion heißt additiv, wenn für teilerfremde Zahlen   und   stets   gilt. Sie heißt vollständig additiv, auch strikt oder streng additiv, wenn dies auch für nicht teilerfremde Zahlen gilt.

Ein Beispiel für eine additive Funktion ist die  -adische Exponentenbewertung. Aus jeder multiplikativen Funktion, die nirgends verschwindet, lässt sich eine additive Funktion konstruieren, indem man das Ergebnis logarithmiert. Präziser: Wenn   (vollständig) multiplikativ und stets   ist, dann ist   eine (vollständig) additive Funktion. Gelegentlich wird auch ein (komplexer) Logarithmus einer nirgends verschwindenden zahlentheoretische Funktion   (ohne Betrag) gebildet. Dabei ist jedoch wegen der verschiedenen Zweige des komplexen Logarithmus Vorsicht geboten.

FaltungBearbeiten

Die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen wird nach Dirichlet auch als Dirichlet-Faltung bezeichnet. Zu anderen Bedeutungen des Wortes in der Mathematik siehe den Artikel Faltung (Mathematik).

DefinitionBearbeiten

Die Dirichlet-Faltung zweier zahlentheoretischer Funktionen ist definiert durch

 

wobei sich die Summe über alle (echten und unechten, positiven) Teiler von   erstreckt.

Die summatorische Funktion einer zahlentheoretischen Funktion   ist definiert durch  , wobei   die konstante Funktion mit dem Funktionswert   bezeichnet, also

 

Man kann zeigen, dass   bzgl. der Faltungsoperation invertierbar ist; ihr Inverses ist die (multiplikative) Möbiusfunktion  . Das führt zur Möbiusschen Umkehrformel, mit der man eine zahlentheoretische Funktion aus ihrer summatorischen Funktion zurückgewinnen kann.

Eigenschaften der FaltungBearbeiten

  • Die Faltung von zwei multiplikativen Funktionen ist multiplikativ.
  • Die Faltung von zwei vollständig multiplikativen Funktionen muss nicht vollständig multiplikativ sein.
  • Jede zahlentheoretische Funktion  , die an der Stelle   nicht verschwindet, besitzt eine Inverse bezüglich der Faltungsoperation.
  • Diese Faltungsinverse ist genau dann multiplikativ, wenn   multiplikativ ist.
  • Die Faltungsinverse einer vollständig multiplikativen Funktion ist multiplikativ, aber im Allgemeinen nicht vollständig multiplikativ.
  • Das neutrale Element der Faltungsoperation ist die durch   und   für alle   definierte Funktion  

Algebraische StrukturBearbeiten

  • Die Menge der zahlentheoretischen Funktionen bildet mit der komponentenweisen Addition, der skalaren Multiplikation und der Faltung als innerer Multiplikation
  • Die multiplikative Gruppe dieses Ringes besteht aus den zahlentheoretischen Funktionen, die an der Stelle   nicht verschwinden.
  • Die Menge der multiplikativen Funktionen ist eine echte Untergruppe dieser Gruppe.

Abgrenzung vom Raum der komplexen ZahlenfolgenBearbeiten

Mit der komplexen Skalarmultiplikation, der komponentenweisen Addition und – anstelle der Faltung – der komponentenweisen Multiplikation bildet die Menge der zahlentheoretischen Funktionen ebenfalls eine kommutative C-Algebra, die Algebra der formalen (nicht notwendig konvergenten) komplexen Zahlenfolgen. Diese kanonische Struktur als Abbildungsraum ist in der Zahlentheorie jedoch kaum von Interesse.

Als komplexer Vektorraum (also ohne innere Multiplikation) ist dieser Folgenraum mit dem Raum der zahlentheoretischen Funktionen identisch.

Zusammenhang mit DirichletreihenBearbeiten

Jeder zahlentheoretischen Funktion kann eine formale Dirichletreihe zugeordnet werden. Die Faltung wird dann zur Multiplikation von Reihen. Diese Konstruktion wird im Artikel über Dirichletreihen näher beschrieben.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten