Deformationsinvarianten

Die Deformationsinvarianten bezeichnen in der Kontinuumsmechanik die drei Hauptinvarianten des rechten oder linken Cauchy-Green Deformationstensors. Sie stellen die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms bei Hauptachsentransformation des Strecktensors dar. Gleichzeitig lassen sie sich nach dem Satz von Vieta auch durch die Hauptstreckungen ausdrücken:

mit

  • der Deformationstensor
  • der Spur des Deformationstensors,
  • der Determinante des Deformationstensors,
  • der Inversen des Deformationstensors und
  • der Eigenwerte des Deformationstensors.

Obige Zusammenhänge gelten für den linken Cauchy-Green Tensor und den rechten Cauchy-Green Tensor , denn beide Tensoren haben wegen

Veranschaulichung der Polarzerlegung

dieselben Eigenwerte und damit auch dieselben Invarianten, was sie einander mathematisch ähnlich macht. Der Tensor F ist der Deformationsgradient. Gleiches gilt für die symmetrischen, positiv definiten, rechten und linken Deformationstensoren U bzw. v, die sich gemäß

aus der Polarzerlegung des Deformationsgradienten ergeben, siehe Bild. Darin ist R ein eigentlich orthogonaler Tensor mit den Eigenschaften RT · R = 1 und det(R) = +1 (1 ist der Einheitstensor.) Der rechte und linke Deformationstensor haben wegen

die Hauptstreckungen λ1,2,3 als Eigenwerte, denn sie sind ebenfalls einander ähnlich:

Weil der Deformationsgradient immer und überall invertierbar ist, sind dies die Strecktensoren auch.

Die dritte Invariante stellt gleichzeitig das Quadrat des Volumenverhältnisses dar:

Bei Inkompressibilität im Werkstoffverhalten () bleibt also die dritte Invariante der Strecktensoren gleich der Identität.

LiteraturBearbeiten