Beschreibung

Beschreibung01-Strahlensatz Anwendung Winkel.svg	Deutsch: Näherungskonstruktion eines Winkels in Dezimalgrad mittels des dritten Strahlensatzes English: Proximity construction of an angle in decimal degrees with the third intercept theorem
Datum	27. Oktober 2016
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
Andere Versionen
SVG‑Erstellung InfoField	Der SVG-Code ist valide.   Dieses Diagramm wurde von Petrus3743 mit GeoGebra erstellt.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Deutsch

Ein praktikables Beispiel für den dritten Strahlensatz in Kombination mit Zahlengeraden ist die Näherungskonstruktion eines Winkels in Dezimalgrad. Hierfür wird der Wert des Sinus oder des Kosinus vom gesuchten Winkel verwendet.

• Die Grundkonstruktion besteht aus einer Zahlengeraden s₁, zwei zur Zahlengeraden s₁ senkrecht stehenden parallelen Zahlengeraden s₂, s₃ jeweils mit zehn Teilungspunkten 0,1 bis 1,0 sowie einer Diagonalen ab 1,0 von s₃ durch 0,1 von s₂ bis zur Zahlengeraden s₁; es ergibt sich dabei auf s₁ der Scheitelpunkt E. Ein Viertelkreis um A ab 1,0 von s₂ bis s₁ bestimmt die Länge des ersten Winkelschenkels |A1,0| und schließt damit die Grundkonstruktion (Schema) ab.

• Für die Veranschaulichung der eigentlichen Konstruktion wurde der Winkel 57,14° mit seinem Sinuswert ca. 0,84 gewählt.
  • Zuerst wird der Teilungspunkt 0,4 mit dem Scheitelpunkt E verbunden, dabei entsteht auf s₂ der auf ein Zehntel verkleinerte Wert 0,04.
  • Nun nimmt man den Abschnitt der Werte 0,1 und 0,04 (größere Zirkelöffnung) in den Zirkel und überträgt ihn auf s₂ ab dem Teilungspunkt 0,9; somit ergibt sich der gewählte Sinuswert 0,84.
  • Eine abschließende zur Zahlengeraden s₁ parallele Linie ab dem Sinuswert 0,84 bis zum Viertelkreis ergibt den Schnittpunkt H für den zweiten Winkelschenkel |AH|. Der somit konstruierte Winkel 1,0AH hat den Näherungswert 57,14012...° mit einem absoluten Winkelfehler F_α ≈ 0,00012° < 1 Winkelsekunde = ${\displaystyle {\tfrac {\;1^{\circ }}{3600}}}$ = 0,00027°
• Werden die relevanten Teilungspunkte mit B, D, F und G bezeichnet, ergeben sich gemäß dem dritten Strahlensatz die Verhältnisse der Abschnitte:

${\displaystyle {\frac {|BG|}{|DF|}}={\frac {|AG|}{|CF|}}}$ und ${\displaystyle {\frac {|BG|}{|AG|}}={\frac {|DF|}{|CF|}}}$

• Absolute Fehler an der Sehne:

F = S_konstr. - S_theor.

F = 0,956465996 - 0,956464163 = 0,000001833

Beispiel: Bei einem Radius von 1 km wäre der absolute Fehler an der Sehne ca. 1,8 mm.

English

A practical example for the third intercept theorem in combination with the number line is the proximity construction of an angle in decimal degrees. For this purpose, the value of the sine or the cosine of the angle being sought is used.

• The basic construction consists of a number line s₁, two parallel number lines s₂, s₃ perpendicular to the number lines s₁, each with ten division points 0.1 to 1.0 and one diagonal from 1.0 of s₃ through 0.1 of s₂ to the number line s₁; this results in s₁ the vertex E. A quarter circle around A from 1.0 from s₂ to s₁ determines the length of the first angle limb | A1,0 | and thus completes the basic construction (scheme).

• For the purpose of illustrating the actual construction, the angle 57.14° with its sine value was selected about 0.84.
  • First, the divider point 0.4 is connected to the vertex E, resulting in a value reduced by one tenth from 0.04 on s₂.
  • Then the section of the values 0.1 till 0.04 (larger compass opening) is taken into the compass and transferred on s₂ from the divider point 0.9; thus the selected sine value is obtained.

• A final line parallel to the number line s1 from the sine value 0.84 to the quarter circle gives the intersection H for the second angle limb |AH|. The thus constructed angle 1.0AH has the approximation value 57.14012...° with an absolute angle error Fα ≈ 0.00012° < 1 second of arc = ${\displaystyle {\tfrac {\;1}{3600}}}$ degree = 0,00027°
• If the relevant dividing points are designated by B, D, F and G, the ratios of the sections are obtained according to the third intercept theorem:

${\displaystyle {\frac {|BG|}{|DF|}}={\frac {|AG|}{|CF|}}}$ und ${\displaystyle {\frac {|BG|}{|AG|}}={\frac {|DF|}{|CF|}}}$

• Absolute error at the chord:

F = S_constr. - S_theor.

F = 0.956465996 - 0.956464163 = 0.000001833

Example: For a radius of 1 km, the absolute error at the chord would be about 1.8 mm.

Lizenz

Ich, der Urheber dieses Werkes, veröffentliche es unter der folgenden Lizenz:

Diese Datei ist lizenziert unter der Creative-Commons-Lizenz „Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 international“.

Dieses Werk darf von dir

• verbreitet werden – vervielfältigt, verbreitet und öffentlich zugänglich gemacht werden
• neu zusammengestellt werden – abgewandelt und bearbeitet werden

Zu den folgenden Bedingungen:

• Namensnennung – Du musst angemessene Urheber- und Rechteangaben machen, einen Link zur Lizenz beifügen und angeben, ob Änderungen vorgenommen wurden. Diese Angaben dürfen in jeder angemessenen Art und Weise gemacht werden, allerdings nicht so, dass der Eindruck entsteht, der Lizenzgeber unterstütze gerade dich oder deine Nutzung besonders.
• Weitergabe unter gleichen Bedingungen – Wenn du das Material wiedermischst, transformierst oder darauf aufbaust, musst du deine Beiträge unter der gleichen oder einer kompatiblen Lizenz wie das Original verbreiten.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 truetrue