Beschreibung

Beschreibung01-Squaring the circle-Ramanujan-1914.gif	Deutsch: Quadratur des Kreises, Näherungskonstruktion nach Ramanujan von 1914, mit Weiterführung der Konstruktrion, Animation am Ende Pause 30 s English: Squaring the circle, approximitiy construction according Ramanujan of 1914, with continuation of the construction, animation at the end pause 30 s
Datum	21. November 2016
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
Andere Versionen

Im Jahr 1914 ermittelte Ramanujan für eine noch genauere Quadratur als die von 1913, den folgenden Näherungswert für die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi \approx {\sqrt[{4}]{9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}}}=3{,}141592652\dots }$^[1]

in dem acht Nachkommastellen mit denen von ${\displaystyle \pi }$ gleich sind.

Ramanujan konstruierte in dieser Quadratur nicht die Seitenlänge des gesuchten Quadrates, es genügte ihm die Strecke OS darzustellen.^[2] In der obigen Weiterführung der Konstruktion, wird die Strecke OS zusammen mit der Strecke OB zur Darstellung der mittleren Proportionalen (rote Strecke OG) herangezogen.^[3]

Fehler

Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:

• Konstruierte Seite des Quadrates a = 1,77245385062141... [LE]
• Soll-Seite des Quadrates a_s = ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ = 1,772453850905516... [LE]
• Absoluter Fehler = a - a_s = -0,00000000028411... = -2,841...E-10 [LE]
• Fläche des konstruierten Quadrates A = a² = 3,14159265258265... [FE]
• Soll-Fläche des Quadrates A_s = ${\displaystyle {\pi }}$ = 3,141592653589793... [FE]
• Absoluter Fehler = A - A_s = -0,000000001007143... = -1,007...E-9 [FE]

Beispiele zur Veranschaulichung der Fehlers

• Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10.000 km wäre der Fehler der Seite a ≈ -2,8 mm
• Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler der Fläche A ≈ -0,1 mm²

Error

In a circle of radius r = 1 [unit length, ul]:

• Constructed side of the square a = 1.77245385062141... [ul]
• Target side of the square a_s = ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ = 1.772453850905516... [ul]
• Absolute error = a - a_s = -0.00000000028411... = -2.841...E-10 [ul]
• Surface of the constructed square A = a² = 3.14159265258265... [unit area, ua]
• Target area of the square A_s = ${\displaystyle {\pi }}$ = 3.141592653589793... [ua]
• Absolute error = A - A_s = -0,000000001007143... = -1,007...E-9 [ua]

Examples to illustrate the errors:

• In a circle of radius r = 10,000 km would be the error of the side a ≈ -2.8 mm
• In the case of a circle with the radius r = 10 m would be the error of the surface A ≈ -0.1 mm²

Lizenz

Ich, der Urheber dieses Werkes, veröffentliche es unter der folgenden Lizenz:

Diese Datei ist lizenziert unter der Creative-Commons-Lizenz „Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 international“.

Dieses Werk darf von dir

• verbreitet werden – vervielfältigt, verbreitet und öffentlich zugänglich gemacht werden
• neu zusammengestellt werden – abgewandelt und bearbeitet werden

Zu den folgenden Bedingungen:

• Namensnennung – Du musst angemessene Urheber- und Rechteangaben machen, einen Link zur Lizenz beifügen und angeben, ob Änderungen vorgenommen wurden. Diese Angaben dürfen in jeder angemessenen Art und Weise gemacht werden, allerdings nicht so, dass der Eindruck entsteht, der Lizenzgeber unterstütze gerade dich oder deine Nutzung besonders.
• Weitergabe unter gleichen Bedingungen – Wenn du das Material wiedermischst, transformierst oder darauf aufbaust, musst du deine Beiträge unter der gleichen oder einer kompatiblen Lizenz wie das Original verbreiten.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 truetrue

1. ↑ S. A. Ramanujan: Modular Equations and Approximations to π In: Quarterly Journal of Mathematics. 12. Another curious approximation to π is, 43, (1914), S. 350–372. Aufgelistet in: Published works of Srinivasa Ramanujan Abgerufen am 21. November 2016
2. ↑ Modular Equations and Approximations to π In: Quarterly Journal of Mathematics. 12. Another curious approximation to π is ... Fig. 2, 44, (1914), S. 350–372. Aufgelistet in: Published works of Srinivasa Ramanujan Abgerufen am 21. November 2016
3. ↑ Universität Magdeburg A.14 Mittelwerte. Mittlere Proportionale, Seite 2 (PDF-Datei) Abgerufen am 21. November 2016